Środek ciężkości bryły paraboloidy

[Eno_]

Witam, w poleceniu miałem obliczyć środek ciężkości jednorodnej, odwróconej paraboloidy \(\displaystyle{ z=1-x^2-y^2}\) ograniczonej od dołu przez płaszczyznę \(\displaystyle{ z=0}\). Paraboloida jest symetryczna względem płaszczyzn \(\displaystyle{ OZX, OYZ}\) więc liczę tylko trzecią współrzędną. Rozpisuję całkę \(\displaystyle{ \iiint_{V}z \varrho(x,y,z) dV}\). Teraz pytanie czy przekształcam to teraz na całkę powierzchniową, zamieniam na współrzędne biegunowe i całka po rzucie tej paraboloidy na \(\displaystyle{ OXY}\)? Czy po prostu podstawiam za z i od razu zamieniam na biegunowe i liczę?

[kerajs]

Albo zwykłe współrzędne:
\(\displaystyle{ -1 \le x \le 1\\
- \sqrt{1-x^2} \le y \le \sqrt{1-x^2}\\
0 \le z \le 1-x^2-y^2}\)
lub walcowe:
\(\displaystyle{ 0 \le \alpha \le 2 \pi \\
0 \le r \le 1\\
0 \le z \le 1-r^2}\)

[Eno_]

A na postać całki podwójnej z całki powierzchniowej zamieniam tylko w moim przypadku i w przypadku z walcowymi, ponieważ całkuję po obszarze płaskim, tak?

[kerajs]

Mam wrażenie, że z przemęczenia miesza Ci się nadmiar wiadomości.

Skoro masz wzorek:
\(\displaystyle{ M_{XY}= \int_{}^{} \int_{V}^{} \int_{}^{}z\rho (x,y,z) \mbox{d}V}\)
to nie kombinujesz, ale rozwiązujesz zwykłą całkę potrójną po objętości V. W dowolnych, ale jak najłatwiejszych (czyli takich których granice całkowania łatwo wyznaczyć) współrzędnych.


Niech Moc będzie z Tobą.

PS
Przypominam, że z-et środka ciężkości to: \(\displaystyle{ z_s= \frac{M_{XY}}{M}}\)