Pochodne cząstkowe funkcji

[sandra7]

Funkcja \(\displaystyle{ f(u,v)}\) ma wszystkie pochodne drugiego rzędu ciągłe. Obliczyć pochodne cząstkowe \(\displaystyle{ \frac{ \partial g}{ \partial x}}\) i \(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2}g }{ \partial y \partial x}}\) funkcji \(\displaystyle{ g(x,y)=x \cdot f(xy ^{2},x+y)}\).

Ma ktoś pomysł na to zadanie?

[squared]

To pochodna funkcji złożonej:

\(\displaystyle{ \frac{ \partial g}{ \partial x} =1 \cdot f(xy ^{2},x+y) + x \left( \frac{ \partial f}{ \partial u} y^2 +\frac{ \partial f}{ \partial v} \cdot 1 \right)}\)

Najpierw masz zastosowany wzór na pochodną iloczynu, potem drugi człon to zastosowanie pochodnej funkcji złożonej, bowiem mamy \(\displaystyle{ f(u(x,y),v(x,y))}\), czyli zarówno \(\displaystyle{ u}\), jak i \(\displaystyle{ v}\) zależą od \(\displaystyle{ x}\)

[sandra7]

Czyli analogiczne byłoby tak?

\(\displaystyle{ \ \frac{ \partial ^{2}g }{ \partial x \partial y}= 1 \cdot \left( \frac{ \partial f}{ \partial u} y^2 +\frac{ \partial f}{ \partial v} \cdot 1 \right)+1 \cdot \left( \frac{ \partial f}{ \partial u} y^2 +\frac{ \partial f}{ \partial v} \cdot 1 \right)+ x \cdot \left( \frac{ \partial ^{2}f }{ \partial u ^{2}} \cdot y ^{2} +2 \cdot \frac{ \partial f}{ \partial u} \cdot y+ \frac{ \partial ^{2}f }{ \partial v ^{2} } } \right)}\)

[squared]

Rozpiszę sobie:

\(\displaystyle{ \frac{ \partial g}{ \partial x} =f(xy ^{2},x+y) + x \left( \frac{ \partial f}{ \partial u} y^2 +\frac{ \partial f}{ \partial v}\right)\\
\frac{ \partial^2 g}{ \partial x\partial y} = \frac{ \partial f}{ \partial u} \cdot 2xy + \frac{ \partial f}{ \partial v} \cdot 1 + x\left( y^2 \left( \frac{ \partial^2 f}{ \partial u^2} + \frac{ \partial^2 f}{ \partial u\partial v}\right) + 2y \frac{ \partial f}{ \partial u} + \frac{ \partial^2 f}{ \partial u \partial v}+ \frac{ \partial^2 f}{ \partial v^2} \right) \\}\)

Wyszło mi bardziej złożone. Mam wrażenie, że dobrze myślisz, ale w niektórych momentach po jednej zmiennej różniczkowałaś np. tylko po \(\displaystyle{ u}\)