(źródło: )Powierzchnia \(\displaystyle{ M = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: x^2+y^2+z^2=\sqrt{z}>0\}}\) jest zorientowana tak, że ujemna strona jest widoczna, a dodatnia niewidoczna z \(\displaystyle{ (0,0,\frac12)}\). Oblicz strumień pola wektorowego \(\displaystyle{ [\frac{x}{z},\frac{y}{z},\sqrt{z}]}\) przez powierzchnię M ze strony ujemnej na dodatnią, czyli \(\displaystyle{ \int_M [\frac{x}{z} dy\wedge dz+\frac{y}{z}dz\wedge dx+\sqrt{z}dx\wedge dy]}\). Czy zbiór \(\displaystyle{ M \cup \{(0,0,0)\}}\) jest rozmaitością?
Przekrój M na wysokości z jest okręgiem o promieniu \(\displaystyle{ \sqrt{z} - z^2}\). To się zeruje w z=0 oraz z=1 i ma maksimum (1) dla \(\displaystyle{ \frac{1}{2\cdot2^{\frac13}}}\).
I punkt (0,0,1/2) jest wewnątrz M, więc strona dodatnia to jest ta zewnętrzna.
Żeby policzyć całkę (chyba) można skorzystać z tw. Gaussa-Ostrogradzkiego. Niech \(\displaystyle{ M = \partial A}\)
\(\displaystyle{ \int_{\partial A} [\frac{x}{z} dy\wedge dz+\frac{y}{z}dz\wedge dx+\sqrt{z}dx\wedge dy] = \int_A \pm \frac{1}{z} \pm \frac{1}{z} \pm \frac{1}{2\sqrt{z}} d\lambda_3(x,y,z)}\).
Ale jak wygląda sprawa ze znakami przy tej orientacji?
Czy można obliczyć całkę w ten sposób? (równość z tw. Fubiniego)
\(\displaystyle{ \int_A \pm \frac{1}{z} \pm \frac{1}{z} \pm \frac{1}{2\sqrt{z}} d\lambda_3(x,y,z) =
\int_0^1 (\pm \frac{1}{z} \pm \frac{1}{z} \pm \frac{1}{2\sqrt{z}} )(\int_{A_z} 1 d\lambda_2(x,y)) dz}\)
Gdzie \(\displaystyle{ A_z}\) jest przekrojem "na wysokości" z. Wtedy \(\displaystyle{ \lambda_2(A_z) = \pi\cdot (\sqrt{z}-z^2)^2}\)
I ostatecznie do policzenia byłaby całka \(\displaystyle{ \int_0^1 (\pm \frac{1}{z} \pm \frac{1}{z} \pm \frac{1}{2\sqrt{z}}) ( \pi\cdot (\sqrt{z}-z^2)^2) dz}\)?