Pewnik wyboru — raz jeszcze

[Majeskas]

Problemy z pewnikiem wyboru nie raz były tu poruszane, ale takiego chyba nie było.

Mamy rodzinę niepustych zbiorów: \(\displaystyle{ A_1, A_2, A_3, A_4}\). Chcemy skonstruować funkcję wyboru dla tej rodziny w oparciu o aksjomaty ZF.
Z \(\displaystyle{ i}\)-tego zbioru wybieramy pewien element \(\displaystyle{ a_i}\) i tworzymy parę uporządkowaną \(\displaystyle{ \left\langle i,a_i\right\rangle}\). Niech \(\displaystyle{ B_i=\left\{ \left\langle i,a_i\right\rangle \right\}}\). Z aksjomatu sumy wynika, że istnieje suma rodziny zbiorów \(\displaystyle{ B_i}\). Suma ta jest funkcją wyboru dla naszej rodziny.

Jeśli tak jest dobrze, to czemu nie mógłbym powtórzyć tego rozumowania dla przeliczalnej albo jakiejkolwiek rodziny zbiorów? Jeśli nie jest dobrze, to dlaczego?

[Jan Kraszewski]

Problem leży tutaj:

Z aksjomatu sumy wynika, że istnieje suma rodziny zbiorów \(\displaystyle{ B_i}\).

Nie uzasadniłeś tego, ale można pokazać, że rodzina \(\displaystyle{ \{B_1,B_2,B_3,B_4\}}\) istotnie istnieje, więc można wziąć jej sumę. Dlatego istnienie funkcji wyboru dla skończonych rodzin nie wymaga aksjomatu wyboru.

Natomiast gdybyś miał nieskończenie wiele zbiorów \(\displaystyle{ B_i}\), to jak uzasadnisz istnienie zbioru tych wszystkich zbiorów?

JK

[Majeskas]

Jasne! Rozumiem, że uzasadnienie istnienia rodziny \(\displaystyle{ \left\{ B_i:\ i \le n\right\}}\) dla ustalonego \(\displaystyle{ n}\) polega na indukcyjnym stosowaniu aksjomatu pary?
Z kolei "wyżej", tzn. już choćby dla rodziny przeliczalnej, potrzeba aksjomatu wyboru?

[Jan Kraszewski]

Jasne! Rozumiem, że uzasadnienie istnienia rodziny \(\displaystyle{ \left\{ B_i:\ i \le n\right\}}\) dla ustalonego \(\displaystyle{ n}\) polega na indukcyjnym stosowaniu aksjomatu pary?

Pary i sumy.

Z kolei "wyżej", tzn. już choćby dla rodziny przeliczalnej, potrzeba aksjomatu wyboru?

"Wyżej" w ogóle nie jesteś w stanie uzasadnić istnienia rodziny \(\displaystyle{ \left\{ B_i:\ i\in I\right\}}\) i dlatego funkcję wyboru musisz wziąć z innego źródła - z aksjomatu wyboru (tyle, że jest to źródło niekonstruktywne...).

JK

[Majeskas]

To miałem na myśli, tylko zbyt skrótowo się wyraziłem. Bardzo dziękuję!

[Jakub Gurak]

Dla rodzin zbiorów (zwykłych, nieindeksowanych) problemu nie ma z istnieniem rodziny zbiorów- przecież twierdzenie mówi, dla dowolnej rodziny zbiorów niepustych istnieje funkcja wyboru, więc rozpoczynając dowód po prostu ustalamy dowolną taką rodzinę zbiorów, i chcemy uzyskać funkcję wyboru dla tej rodziny. Tylko problem jest podobny, nie ma chyba problemu by ze zbioru niepustego \(\displaystyle{ A\in\mathbb{X}}\) tej rodziny zbiorów \(\displaystyle{ \mathbb{X}}\) wyciągnąć pewien element \(\displaystyle{ a\in A,}\) ale możemy jedynie wyciągnąć każdy element z osobna, z każdego zbioru z osobna. I żeby z tych elementów ( a właściwie par (zbiór,element tego zbioru) =już bym się pomylił i mówił o samym aksjomacie wyboru, zamiast o tym twierdzeniu o funkcji wyboru) utworzyć zbiór potrzeba właśnie aksjomatu wyboru- gdy ilość zbiorów w rodzinie jest nieskończona, choćby przeliczalna.

[Jan Kraszewski]

Chyba nie przeczytałeś uważnie tego wątku - powtórzyłeś dokładnie to, co zostało w nim powiedziane.

JK