Równanie różniczkowe drugiego rzeu metoda przewidywań

[bartekxk]

Witam, mam takie pytanie.
Dlaczego w równaniu
\(\displaystyle{ y''-4y'+4y=8 x^{2} +e ^{2x}}\)
przy równianiu jednorodnym
\(\displaystyle{ yj=c1e ^{2x} + c2xe ^{2x}}\)
y przewidywane dla\(\displaystyle{ e ^{2x}}\)muszę wielomian podnosić do sześcianu? Przy podnoszeniu do kwadratu wychodzi zły wynik, a wielomian do kwadratu nie zawiera się w równaniu jednorodnym.
Proszę o pomoc.

[Janusz Tracz]

Ponieważ równanie charakterystyczne ma pierwiastek podwójny to w rozwiązaniu przewidywanym wyrażanie \(\displaystyle{ e^{2x}}\) trzeba pomnożyć przez \(\displaystyle{ x^2}\) bo było to rozwiązanie istotnie różne od rozwiązania jednorodnego. Rozwiązanie szczególne powinno być liniowo niezależne z rozwiązaniem ogólnym. Widać to też na prostym eksperymencie. Gdybyśmy przewidywali rozwiązanie szczególne w postaci \(\displaystyle{ Ae^{2x}}\) lub \(\displaystyle{ Axe^{2x}}\) to dodanie takiego rozwiązania do

\(\displaystyle{ C_1e^{2x}+C_2xe^{2x}+Ae^{2x}=C_3e^{2x}+C_2xe^{2x}}\)

nic nie zmiana, bo stała \(\displaystyle{ C_1}\) i tak jest dowolna. Przewidywać będziemy \(\displaystyle{ Ax^2e^{2x}}\) pochodzące od \(\displaystyle{ e^{2x}}\) oraz wielomian stopnia drugiego pochodzący od \(\displaystyle{ 8x^2}\)

[bartekxk]

Tylko właśnie problem jest w tym, że przy przewidywaniu \(\displaystyle{ Ax ^{2}e ^{2x}}\) rozwiązanie wychodzi błędne, dopiero przy\(\displaystyle{ Ax^{3} e^{2x}}\) wynik wychodzi poprawny. Właśnie nie potrafię zrozumieć dlaczego muszę podnosić do szescianu zamiast do kwadratu.

[Janusz Tracz]

Nie wiem jak to liczysz więc nie jestem wstanie powiedzieć co jest nie tak. Wiem że przewidywanie powinno być z \(\displaystyle{ Ax^2e^{2x}}\) i że wynik wychodzi poprawny gdy takie jest. Skąd masz to zadanie i odpowiedź? Z Kryśickiego? Zresztą na potwierdzenie możesz sprawdzić Wolframem

[bartekxk]

Znalazłem błąd w rozwiązaniu, masz racje, dzięki za pomoc.