równanie różniczkowe cząstkowe z warunkiem początkowym

[Cieniasss]

Witam,

czy ktoś mógłby rozwiązać i wytłumaczyć poniższe zadanie?

Dane jest zagadnienie początkowe oraz dopowiadające mu wartości i funkcje własne. Znajdź rozwiązanie tego zagadnienia.

\(\displaystyle{ \begin{cases} u_{t} = u _{xx}, & 0 < x < \pi, t > 0 \\ u(x, 0) = x \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} k = -n ^{2} \\ X _{n} = \sin (nx), n = 1, 2, ... \end{cases}}\)

[bartek118]

Zacznij od znalezienia rozwiązań postaci X(x)T(t). Następnie zauważ, że równanie jest liniowe, więc suma takich rozwiązań jest również rozwiązaniem. Aby znaleźć współczynniki w tej sumie wykorzystaj warunek początkowy.

[Cieniasss]

Dzięki