Dana jest rozmaitość

[max123321]

Dana jest rozmaitość \(\displaystyle{ M=\left\{ \left( x,y,z\right) \in {\RR^3}:1<z= \sqrt{x^2+y^2}<2 \right\}}\) zorientowana następująco: w każdym punkcie wektor normalny wyznaczający stronę dodatnią ma składową \(\displaystyle{ z}\)-ową ujemną. Obliczyć całkę po \(\displaystyle{ M}\) z formy \(\displaystyle{ \omega=xdy \wedge dz-(y+2z)dz \wedge dx+dx \wedge dy}\).

Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
Parametryzuję w ten sposób:
\(\displaystyle{ x=r\cos \phi}\)
\(\displaystyle{ y=r\sin \phi}\)
\(\displaystyle{ z=r}\)
\(\displaystyle{ 1<r<2}\)
\(\displaystyle{ 0<\phi<2\pi}\)
\(\displaystyle{ dx=\cos \phi dr-r \sin \phi d\phi}\)
\(\displaystyle{ dy=\sin \phi dr+r\cos \phi d\phi}\)
\(\displaystyle{ dz=dr}\)
i wstawiam do formy:
\(\displaystyle{ \int_{S}^{}r\cos \phi (\sin \phi dr+r\cos \phi d\phi) \wedge dr-(r\sin \phi +2r)dr \wedge (\cos \phi dr+r\sin \phi d\phi)+(\cos \phi dr-r\sin \phi d \phi) \wedge (\sin \phi dr + r \cos \phi d\phi)=}\)
\(\displaystyle{ = \int_{X}^{}r^2\cos ^2 \phi d\phi \wedge dr+(r^2 \sin^2\phi-2r^2\sin \phi)dr \wedge d\phi +r\cos ^2 \phi d r \wedge d \phi-r \sin^2 \phi d \phi \wedge dr=}\)
\(\displaystyle{ = \int_{S}^{}-r^2\cos ^2 \phi dr \wedge d\phi+(r^2\sin ^2 \phi-2r^2\sin \phi )dr \wedge d \phi+r\cos ^2 \phi dr \wedge d \phi+r \sin ^2 \phi dr \wedge d \phi=}\)
\(\displaystyle{ = \int_{S}^{}(-r^2 \cos ^2 \phi+r^2 \sin ^2 \phi-2r^2 \sin \phi+r \cos ^2 \phi+r \sin ^2 \phi )dr \wedge d \phi=}\)
\(\displaystyle{ = \int_{S}^{}(-r^2\cos 2 \phi-2r^2 \sin \phi +r) drd\phi= \int_{0}^{2\pi} \int_{1}^{2}(-r^2\cos 2 \phi-2r^2 \sin \phi +r)drd\phi=}\)
\(\displaystyle{ = \int_{0}^{2\pi}-1/3 \cdot 7\cos2\phi -2/3 \cdot 7\sin \phi +3/2d\phi=-7/6\sin 2\phi +14/3\cos \phi+3/2\phi}\) w granicy od zera do dwóch pi to się równa
\(\displaystyle{ 28/3+3\pi=3\pi+7 \frac{1}{3}}\).
Czy tak jest dobrze?

[janusz47]

Sprawdź orientację. Obliczenia są poprawne.

[max123321]

Właśnie mam z tym problem. Wektor normalny do tej powierzchni to \(\displaystyle{ [2x,2y,-2z]}\). I trzeba policzyć iloczyn skalarny tego wektora z jakimś innym, ale nie pamietam z którym i ma wyjść na plusie. Możesz wyjaśnić?

[janusz47]

Znajdź dla przyjętej parametryzacji wektor normalny \(\displaystyle{ \vec{n} = \frac{\vec{t}_{\phi} \times\vec{t}_{r}}{|\vec{t}_{\phi} \times \vec{t}_{r}|}}\)

[max123321]

No dobra to robię tak:
\(\displaystyle{ t_\phi=[\cos \phi,\sin \phi,1]}\)
\(\displaystyle{ t_\phi=[-r\sin \phi,r\cos \phi,0]}\)
\(\displaystyle{ \vec{t}_{\phi} \times\vec{t}_{r}=[r\cos\phi ,-r\sin \phi ,r\cos ^2 \phi - r\sin ^2 \phi]}\)
\(\displaystyle{ |\vec{t}_{\phi} \times \vec{t}_{r}|= \sqrt{2r^2+r^2\cos 2\phi}}\)
O to chodziło? No dobra i co dalej z tym?

[janusz47]

Popraw drugi składnik normy tego wektora.

Tworzysz wektor \(\displaystyle{ \vec{n}}\)

Podstawiasz do niego (jak w całce) zakresy wartości \(\displaystyle{ r , \phi}\) obliczając dla nich współrzędne tego wektora.

[max123321]

No poprawiłem. No zakresy to \(\displaystyle{ r \in \left( 1,2\right),\phi \in \left( 0,2\pi\right)}\) i co mam podstawić? Końce przedziałów? Czy długość przedziału?

[janusz47]

Wyłączamy z licznika i mianownika \(\displaystyle{ r}\) upraszczamy.

Obliczamy współrzędne wektora \(\displaystyle{ \vec{n}}\) dla \(\displaystyle{ \phi = 0}\) i \(\displaystyle{ \phi = 2\pi.}\) i sprawdzamy , czy wektor normalny wyznaczający stronę dodatnią ma składową \(\displaystyle{ z}\) ujemną.

Jeśli tak przyjęta przez Ciebie orientacja jest właściwa, jeśli nie zmieniamy orientację na przeciwną.

[max123321]

No to w zasadzie tylko licznik można sprawdzić. Po skróceniu to będzie \(\displaystyle{ [1,0,1]}\) dla \(\displaystyle{ \phi=0}\) i ten sam wektor dla \(\displaystyle{ \phi=2\pi}\)