Udowodnij, że jeśli na płaszczyźnie zaznaczymy \(\displaystyle{ n \ge 3}\) punktów tak, że wśród nich nie ma żadnych trzech współliniowych, to prowadząc proste przez dowolne dwa z zaznaczonych punktów otrzymamy \(\displaystyle{ \frac{n(n-1)}{2}}\) prostych.
Rozrysowałem sobie sytuację dla \(\displaystyle{ n=3}\) i \(\displaystyle{ n=4}\) i postawiłem hipotezę, że liczba prostych dla \(\displaystyle{ n}\) punktów wynosi \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}(n-i) = \frac{n(n-1)}{2}}\)
Dla \(\displaystyle{ n = 3}\) mamy \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{3}(n-i) = \frac{3(3-1)}{2} = 3}\)
Teraz załóżmy prawdziwość dla pewnego \(\displaystyle{ n = k}\) tak, że \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{k}(k-i) = \frac{k(k-1)}{2}}\) i sprawdźmy prawdziwość implikacji dla \(\displaystyle{ n = k+1}\)
Mamy \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{k+1}(k+1-i) = k + \sum_{i=1}^{k}(k-i) = k + \frac{k(k-1)}{2} = \frac{k ^{2} + k}{2} = \frac{(k+1)k}{2}}\), co dowodzi implikacji \(\displaystyle{ T(k) \Rightarrow T(k+1)}\)
Czy zadanie jest zrobione dobrze?
Liczba prostych otrzymanych z połączenia punktów
- SkitsVicious
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 23 sty 2018, o 10:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4106
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 82 razy
- Pomógł: 1410 razy
Re: Liczba prostych otrzymanych z połączenia punktów
Nie trzeba tego robić indukcyjnie. Takie niewspółliniowe punkty tworzą wielokąt z każdego wierzchołka można poprowadzić \(\displaystyle{ n-1}\) prostych i można to powtórzyć dla \(\displaystyle{ n}\) wierzchołków. Ponieważ liczymy je podwójnie to liczba prostych to \(\displaystyle{ \frac{n(n-1)}{2}}\)
- SkitsVicious
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 23 sty 2018, o 10:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
Re: Liczba prostych otrzymanych z połączenia punktów
Jest to zadanie z gwiazdką z działu poświęconego indukcji w moim podręczniku, więc zrobiłem używając indukcji.
-
- Użytkownik
- Posty: 22276
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3765 razy
Liczba prostych otrzymanych z połączenia punktów
Nie, nie jest, bo Twoje rozwiązanie w żaden sposób nie odnosi się do treści zadania. Brakuje w tym rozumowaniu uzasadnienia.SkitsVicious pisze: Teraz załóżmy prawdziwość dla pewnego \(\displaystyle{ n = k}\) tak, że \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{k}(k-i) = \frac{k(k-1)}{2}}\) i sprawdźmy prawdziwość implikacji dla \(\displaystyle{ n = k+1}\)
Mamy \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{k+1}(k+1-i) = k + \sum_{i=1}^{k}(k-i) = k + \frac{k(k-1)}{2} = \frac{k ^{2} + k}{2} = \frac{(k+1)k}{2}}\), co dowodzi implikacji \(\displaystyle{ T(k) \Rightarrow T(k+1)}\)
Czy zadanie jest zrobione dobrze?
Na przykład takiego:
Weźmy \(\displaystyle{ k+1}\) punktów spełniających warunek zadania i wybierzmy jeden z nich. Prostych, które przechodzą przez ten punkt jest \(\displaystyle{ k}\), natomiast prostych nie zawierających tego punktu, na mocy założenia indukcyjnego, jest ....
Wszystkich prostych jest zatem ...