Czy mogę tak skracać pierwiastek?

[Ranolmz]

Mam takie coś:

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{5^n} = 5}\)

Od razu mogłem pozbyć się pierwiastka. Natomiast co w takiej sytuacji?

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{5^n + 6^n}}\)

Czy mogę w taki sposób pozbyć się pierwiastka?

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{5^n + 6^n} = 5 + 6 = 11}\)

Jeśli nie mogę, to dlaczego nie? Ja rozumiem, że nie mógłbym np. w takiej sytuacji:

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{5^n + 6}}\)

Pytam, bo w sumie trochę pozapominałem jak działają podstawy matematyki, a jest mi to potrzebne do twierdzenia o trzech ciągach i zaspokojenia mojej ciekawości.

[Premislav]

Sprawdź sobie np. dla \(\displaystyle{ n=2}\). Działa?

Zwykle uzasadniamy, dlaczego można coś zrobić, a nie dlaczego nie można. Jeśli stracisz jakieś punkty na kolokwium za stosowanie dziwnych, być może niepoprawnych (jak tutaj) własności i pójdziesz się wykłócać o punkty z użyciem argumentu „dlaczego nie?", to nie wróżę szczęścia.
Na pewno można zrobić coś takiego: dla dowolnego \(\displaystyle{ n\in \NN^+}\) i dowolnych \(\displaystyle{ x>0, \ y>0}\) mamy \(\displaystyle{ x=y \Leftrightarrow x^n=y^n}\),
zatem \(\displaystyle{ \sqrt[n]{5^n+6^n}=5+6 \Leftrightarrow 5^n+6^n=(5+6)^n}\).
No ale dla \(\displaystyle{ n\ge 2}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ (5+6)^n=11^n=11\cdot 11^{n-1}=(5+6)\cdot 11^{n-1}=5\cdot 11^{n-1}+6\cdot 11^{n-1}>\\ >5\cdot 5^{n-1}+6\cdot 6^{n-1}=5^n+6^n}\)


Zainwestuj może w jakiś podręcznik do szkoły średniej albo ostatnich klas podstawówki (ja w liceum korzystałem z książki, której autorami byli Kłaczkow, Kurczab i Świda, ale niekoniecznie jest to jakaś świetna pozycja, możesz poszukać opinii o podręcznikach do matmy w necie). Możesz też poszperać za jakimiś kompendiami online, typu matemaks czy coś – nie korzystałem nigdy, ale wiem, że są takie rzeczy. Bo z takimi zaległościami to nie widzę nauki analizy (to nie złośliwość).

[Dilectus]

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{5^n + 6^n}}\)

Czy mogę w taki sposób pozbyć się pierwiastka?

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{5^n + 6^n} = 5 + 6 = 11}\)

Jeśli nie mogę, to dlaczego nie?

Ranolmz, uzmysłów sobie, że pierwiastkowanie można zapisać tak:

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{(\text{cośtam})}=(\text{cośtam})^ \frac{1}{n}}\)

lub ogólniej:

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{(\text{cośtam})^m}=(\text{cośtam})^ \frac{m}{n}}\)

Teraz bez trudu zauważysz, że jeśli \(\displaystyle{ a+b \neq 0}\)

to

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{(a+b)^m}=(a+b)^ \frac{m}{n} \neq a^ \frac{m}{n} + b^ \frac{m}{n}}\)

[Premislav]

Teraz bez trudu zauważysz, że jeśli \(\displaystyle{ a+b \neq 0}\)

to

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{(a+b)^m}=(a+b)^ \frac{m}{n} \neq a^ \frac{m}{n} + b^ \frac{m}{n}}\)

Przecież jeśli dokładnie jedna z liczb \(\displaystyle{ a,b}\) będzie równa zero, to jednak równość zajdzie. Może miało być \(\displaystyle{ ab\neq 0}\)…
Swoją drogą bardziej wprawiony czytelnik (nie mówię, że ja jestem wprawiony) mógłby się przy tej okazji zadumać nad równaniem funkcyjnym w rzeczywistych (no patrząc na ten wątek, to należałoby dodać, że nieujemnych) \(\displaystyle{ f(x+y)=f(x)+f(y)}\). Jedyne ciągłe rozwiązania tego równania są postaci \(\displaystyle{ f(t)=at}\), gdzie \(\displaystyle{ a}\) to dowolna stała rzeczywista. Oczywiście funkcja
\(\displaystyle{ f(x)=x^{\frac{1}{n}}}\) dla \(\displaystyle{ n\neq 1}\) nie jest tej postaci.

[Dilectus]

Przecież jeśli dokładnie jedna z liczb a,b będzie równa zero, to jednak równość zajdzie. Może miało być \(\displaystyle{ ab\neq 0}\)…

Oczywiście masz rację. Przez nieuwagę nie zapisałem tego warunku. Pierwotnie miało być

\(\displaystyle{ a+b \neq 0 \wedge ab\neq 0}\)