Granica ciągu - niepoprawny wynik.

[Ranolmz]

Mam prostą granicę (nie dla mnie...), wynik wychodzi mi 3 a powinno być 2. Może ktoś mi pokazać gdzie zrobiłem błąd albo jak to poprawnie rozwiązać? Dziękuję!

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \frac{ \sqrt{n^2+6} - n }{ \sqrt{n^2 + 2} - n } = \lim_{ n\to \infty} \frac{\left(
\sqrt{n^2+6} - n \right) \left(
\sqrt{n^2+6} + n \right) \left(
\sqrt{n^2+2} + n \right)}{\left(
\sqrt{n^2+2} - n \right) \left(
\sqrt{n^2+6} + n \right) \left(
\sqrt{n^2+2} + n \right)} =
\lim_{ n\to \infty} \frac{n^2 + 6 - n^2 \left(\sqrt{n^2+2} + n \right) }{n^2 + 2 - n^2 \left( \sqrt{n^2+6} + n \right) } = \lim_{ n\to \infty} \frac{3\left( \sqrt{n^2+2}+n \right) }{\sqrt{n^2+6} + n} =
\lim_{ n\to \infty} \frac{3\left( \sqrt{n^2\left( 1 + \frac{2}{n^2} \right) } +n \right) }{ \sqrt{n^2\left( 1 + \frac{6}{n^2} \right) } +n} =
\lim_{ n\to \infty} \frac{3 \left( n \sqrt{1 + \frac{2}{n^2} } + n \right) }{n \sqrt{1 + \frac{6}{n^2} } + n } =
\lim_{ n\to \infty} \frac{3 \left( n \left(\sqrt{ 1 + \frac{2}{n^2}}+1 \right) \right) }{n\left( \sqrt{
1 + \frac{6}{n^2}} + 1 \right)} = \frac{3( \sqrt{1} +1)}{ \sqrt{ 1}+1} = \frac{3(2)}{2} = 3}\)

[Belf]

Skąd u Ciebie \(\displaystyle{ 3}\) w liczniku na poczatku drugiej linijki ?
Przecież \(\displaystyle{ n^2}\) przed nwiasami nie redukuje sie do zera ani w liczniku , ani w mianowniku.

\(\displaystyle{ \frac{n^2+6-n^2A}{n^2+2-n^2B} \neq \frac{6A}{2B}}\)

[Ranolmz]

Chyba poprawnie powinienem to włożyć w nawias tj. koniec pierwszej linijki wyglądałby tak:

\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty} \frac{(n^2+6-n^2)( \sqrt{n^2+2}+n) }{(n^2+2-n^2)( \sqrt{n^2+6}+n )}}\)

Zatem \(\displaystyle{ n^2}\) zeruje się w liczniku i mianowniku, \(\displaystyle{ 6}\) i \(\displaystyle{ 2}\) skracam i zostaje \(\displaystyle{ 3}\) w liczniku.

Taki proces myślowy miałem podczas rozwiązywania - nie wiem dlaczego zapomniałem o nawiasie.

Chyba, że tego nawiasu tam nie powinno być? Jeśli tak, to dlaczego nie?

-- 27 lip 2018, o 11:57 --

Wrzuciłem tę granicę w kalkulator wolfram alpha i pokazało mi, że jednak mój wynik '3' jest poprawny.

[ciach]

[Belf]

Chyba poprawnie powinienem to włożyć w nawias tj. koniec pierwszej linijki wyglądałby tak:

\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty} \frac{(n^2+6-n^2)( \sqrt{n^2+2}+n) }{(n^2+2-n^2)( \sqrt{n^2+6}+n )}}\)

Teraz to ma sens i wynik jest też poprawny.

[Jan Kraszewski]

Taki proces myślowy miałem podczas rozwiązywania - nie wiem dlaczego zapomniałem o nawiasie.

To jest niestety częsta przypadłość. Nie wolno zapominać o nawiasach.

JK