Monotoniczność Ciągu

[NieWiemSam]

Mam problem z rozwiązaniem poniższych zadań,sprawdzających monotoniczność ciągów,jeśli nie było by to problemem proszę was o nakierowanie mnie jak te zadana rozwiązać.Z góry dziękuje za wszelkie odpowiedzi.

a) \(\displaystyle{ a_{ \left( n \right) } = - 2^{n}}\)

b) \(\displaystyle{ a_{ \left( n \right) }=- \left( \frac{2}{3} \right) ^{n}}\)

c) \(\displaystyle{ a_{ \left( n \right) }= \left( - \frac{2}{3} \right) ^{n}}\)

d) \(\displaystyle{ a_{ \left( n \right) } = \left( - 2 \right) ^{n}}\)

[janusz47]

Co to znaczy zbadać monotoniczność ciągu?

[a4karo]

Tytuł: żaden z podanych ciągów nie jest arytmetyczny

[NieWiemSam]

Moim zadaniem jest sprawdzenie który z podanych ciągów jest malejący a który rosnący lub może stały.

-- 25 lip 2018, o 10:08 --

Proszę o weryfikacje czy zadania A i D są wykonane prawidłowo?
a)
\(\displaystyle{ a_{n} = - 2^{n},\\
a_{n+1} = - 2^{n+1}=-2^{n} \cdot 2,\\
a_{n+1}-a_n=-2^{n} \cdot 2- ( -2^{n})=-4^{n}+ 2^{n}=-2 ^{n}}\)

b)
\(\displaystyle{ a_{n} = (- 2)^{n},\\
a_{n+1} = (- 2)^{n+1}=(-2)^{n} \cdot (-2),\\
a_{n+1}-a_n= (-2)^{n} \cdot (-2)- (-2^{n})= 4^{n}+2^{n}=6^{n}}\)

[janusz47]

...albo stwierdzamy, że nie jest ani ściśle rosnący ani ściśle malejący ani stały czyli ciągiem ściśle niemonotonicznym.

Kiedy ciąg liczbowy \(\displaystyle{ (a_{n})}\) jest ciągiem ściśle rosnącym?

Kiedy ciąg liczbowy \(\displaystyle{ (a_{n})}\) jest ciągiem ściśle malejącym?

Kiedy ciąg liczbowy \(\displaystyle{ (a_{n})}\) jest ciągiem stałym?

[a4karo]

Za ostanią równość w każdym z "rozwiązań" stawiam zero nie czytając dalej

[NieWiemSam]

ciąg liczbowy \(\displaystyle{ (a_{n})}\) jest rosnący kiedy \(\displaystyle{ (a_{n+1})>0}\)

ciąg liczbowy \(\displaystyle{ (a_{n})}\) jest malejący kiedy \(\displaystyle{ (a_{n+1})<0}\)

ciąg liczbowy \(\displaystyle{ (a_{n})}\) jest stały kiedy \(\displaystyle{ (a_{n+1})=0}\)

-- 25 lip 2018, o 11:36 --

a4karo a mógłbyś mi napisać jak te zadania powinny być wykonane ?

-- 25 lip 2018, o 11:41 --

Czy ktoś jest na tym forum , kto mógłby mi pomóc rozwiązać to zadanie ??

[PokEmil]

a) \(\displaystyle{ a_{n} = - 2^{n},\\ a_{n+1} = - 2^{n+1}=-2^{n} \cdot 2,\\ a_{n+1}-a_n=-2^{n} \cdot 2- ( -2^{n})=\red -4^{n} \black+ 2^{n}= \red -2 ^{n}}\)
Tak nie można, bo \(\displaystyle{ 2^{n} \cdot 2 = 2^{n+1} \neq 4^{n}}\). Wynik \(\displaystyle{ 4^{n}}\) otrzymamy w przypadku \(\displaystyle{ 2^{n} \cdot 2^{n} = 2^{2n} = (2^{2})^{n} = 4^{n}}\).
Pomysłem tutaj jest np. wyciągnięcie \(\displaystyle{ -2^{n}}\) przed nawias otrzymując \(\displaystyle{ a_{n+1}-a_n=-2^{n} \cdot 2- ( -2^{n})= -2^{n} \cdot (2 - 1) = -2^{n}}\). Dla dowolnego \(\displaystyle{ n \in \NN}\) liczba \(\displaystyle{ -2^{n}}\) jest ..., więc \(\displaystyle{ a_{n+1} - a_{n} \ ... \ 0}\), a stąd ciąg \(\displaystyle{ a_{n}}\) jest ... .

d) Ten sam błąd. Nie możesz też zrobić czegoś takiego: \(\displaystyle{ \red 4^{n} + 2^{n} = 6^{n}}\), gdyż \(\displaystyle{ 4^{n} + 2^{n} = (2^2)^{n} + 2^{n} = 2^{2n} + 2^{n} = 2^{n} \cdot (2^{n} + 1) \neq 6^{n}}\). Radzę przypomnieć sobie działania na potęgach, po czym spróbować podejść do podpunktów b, c, d jeszcze raz.

[Jan Kraszewski]

ciąg liczbowy \(\displaystyle{ (a_{n})}\) jest rosnący kiedy \(\displaystyle{ (a_{n+1})>0}\)

ciąg liczbowy \(\displaystyle{ (a_{n})}\) jest malejący kiedy \(\displaystyle{ (a_{n+1})<0}\)

ciąg liczbowy \(\displaystyle{ (a_{n})}\) jest stały kiedy \(\displaystyle{ (a_{n+1})=0}\)

Trudno badać monotoniczność ciągu, jeżeli nie zna się definicji.

Sprawdź jeszcze raz, kiedy ciąg jest rosnący/malejący/stały.

JK

[NieWiemSam]

Temat do zamknięcia