Oblicz całkę powierzchniową

[max123321]

Oblicz całkę powierzchniową
\(\displaystyle{ \int_{M}^{}F\sigma_2(d(x,y,z))}\),
gdzie \(\displaystyle{ F(x,y,z)=y}\), a \(\displaystyle{ M}\) jest powierzchnią wyciętą z kuli jednostkowej w \(\displaystyle{ \RR^3}\) o środku \(\displaystyle{ (0,0,0)}\) przzeez płaszczyznę \(\displaystyle{ x=-y}\).

To po pierwsze co się kryje za tym zapisem pod całką? Czy to jest to samo co po prostu:
\(\displaystyle{ \int_{M}^{}F(x,y,z) \mbox{d}M}\)? A po drugie jak sobie poradzić z tym, że nie jest jawnie wyznaczone \(\displaystyle{ z(x,y)}\)?

[janusz47]

Powierzchnię jakiej figury otrzymamy, w wyniku przecięcia jednostkowej kuli o środku w punkcie \(\displaystyle{ (0,0,0)}\) płaszczyzną o równaniu \(\displaystyle{ x= -y ?}\)

[max123321]

No to będzie wielkie koło kuli zawierające punkt \(\displaystyle{ (0,0,0)}\) i którego wektor prostopadły doń będzie \(\displaystyle{ [1,1,0]}\).

[janusz47]

Nie! Podstawiamy \(\displaystyle{ x = -y}\) do równania jednostkowej kuli.

[max123321]

No to dostaniemy: \(\displaystyle{ 2y^2+z^2 \le 1}\) czyli by z tego wynikało, że będzie to elipsa, ale jak to jest możliwe, że przecięcie kuli z płaszczyzną jest czymś innym niż koło?

[janusz47]

Jest to możliwe, bo jego rzuty na płaszczyzny \(\displaystyle{ Ozy}\) czy \(\displaystyle{ Oxz}\) są elipsami.

[max123321]

Nie bardzo sobie to mogę wyobrazić. Czyli jak to będzie: \(\displaystyle{ \int_{2y^2+z^2 \le 1}^{}y \mbox{d}S}\)
? W ten sposób?

[max123321]

A tak nawiasem to głupoty gadasz. Przecięciem płaszczyzny z kulą jest koło i w tym przypadku to jest koło wielkie kuli.

[janusz47]

A tak nawiasem czy równanie

\(\displaystyle{ 2y^2 +z^2 = 1}\) jest równaniem koła wielkiego kuli?

[_Michal]

\(\displaystyle{ 2y^2 +z^2 = 1}\)

W przestrzeni ta równość opisuję powierzchnie boczną walca eliptycznego, więc nie jest to elipsa.

Ogólnie rzecz biorąc chcemy rozwiązać taki układ (żeby wyznaczyć co to jest \(\displaystyle{ M}\))

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=-y\\x^2+y^2+z^2 \le 1 \end{cases}}\)

Wstawienie pierwszego równania do nierówności to przejście implikacyjne więc wiemy, że te punkty muszą spełniać nierówność \(\displaystyle{ 2y^2 +z^2 \le 1}\). Jednak nie wszystkie należą do przekroju.

Nie ma żadnej sprzeczności przecięcie tego walca eliptycznego z płaszczyzną \(\displaystyle{ x+y=0}\) jest kołem.

----
edit:

Tak więc \(\displaystyle{ M \subseteq \{(x, y, z) | 2y^2 +z^2 \le 1 \}}\) ale nie \(\displaystyle{ M = \{(x, y, z) | 2y^2 +z^2 \le 1\}}\).

[janusz47]

W płaszczyżnie Oyz to równanie opisuje elipsę a nie powierzchnię walca eliptycznego.

[_Michal]

W płaszczyżnie Oyz to równanie opisuje elipsę a nie powierzchnię walca eliptycznego.

No tak, ale użytkownik max123321 zauważył, że \(\displaystyle{ M}\) musi być kołem, bo przecięcie kuli płaszczyzną może być zbiorem pustym, punktem lub kołem. To doprowadziło go do sprzeczności bo przecież to równanie opisuję, według niego elipsę (nie będącą kołem).

Toteż tłumaczę dlaczego nie ma sprzeczności bo w przestrzeni to nie jest równanie elipsy, a cześć wspólna walca eliptycznego i płaszczyzny może być kołem.

----
edit:

Nie bardzo sobie to mogę wyobrazić. Czyli jak to będzie: \(\displaystyle{ \int_{2y^2+z^2 \le 1}^{}y \mbox{d}S}\)
? W ten sposób?

Nie może tak być, bo jak pisałem wyżej nierówność \(\displaystyle{ 2y^2+z^2 \le 1}\) nie opisuje płatu \(\displaystyle{ M}\).

[janusz47]

Powierzchnią boczną \(\displaystyle{ M}\) w przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^3}\) jest:

-powierzchnia \(\displaystyle{ S_{1}}\) - walca eliptycznego o równaniu:

\(\displaystyle{ \frac{y^2}{\frac{1}{2}}+ \frac{z^2}{1} = 1}\)

\(\displaystyle{ S_{1}: \ \ y = \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{z^2}{2}}.}\)

- powierzchnia \(\displaystyle{ S_{2}}\) - zawarta w jednostkowej kuli - kawałka płaszczyzny o równaniu:

\(\displaystyle{ S_{2}: \ \ -y = x.}\)

Rzut obu tych powierzchni \(\displaystyle{ E}\) na płaszczyznę \(\displaystyle{ Oxz}\) jest elipsą o równaniu:


\(\displaystyle{ \frac{x^2}{\frac{1}{2}} + \frac{z^2}{1} = 1.}\)


Obliczamy całki powierzchniowe niezorientowane odpowiednio po powierzchniach:

\(\displaystyle{ S_{1}:}\)

\(\displaystyle{ I_{1} = 2 \iint_{(E)} y \sqrt{1 + \left(\frac{\partial y}{ \partial x} \right)^2+ \left (\frac{\partial y}{\partial z}\right )^2} dz dx}\) (1)

\(\displaystyle{ S_{2}:}\)

\(\displaystyle{ I_{2} = \iint_{(E)} y \sqrt{1 + \left(\frac{\partial y}{ \partial x}\right)^2+ \left(\frac{\partial y}{\partial z}\right )^2} dz dx}\) (2)

Całka \(\displaystyle{ I}\) po powierzchi \(\displaystyle{ M}\) jest sumą tych dwóch całek:

\(\displaystyle{ I = I_{1} + I_{2}.}\)

Proszę znaleźć elementy płatów powierzchni, obliczając pochodne cząstkowe równań powierzchni \(\displaystyle{ S_{1}, S_{2}.}\)

Zamienić całki podwójne (1), (2) na całki podwójne iterowane po elipsie \(\displaystyle{ E.}\)

[max123321]

\(\displaystyle{ 2y^2 +z^2 = 1}\)

W przestrzeni ta równość opisuję powierzchnie boczną walca eliptycznego, więc nie jest to elipsa.

Ogólnie rzecz biorąc chcemy rozwiązać taki układ (żeby wyznaczyć co to jest \(\displaystyle{ M}\))

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=-y\\x^2+y^2+z^2 \le 1 \end{cases}}\)

Wstawienie pierwszego równania do nierówności to przejście implikacyjne więc wiemy, że te punkty muszą spełniać nierówność \(\displaystyle{ 2y^2 +z^2 \le 1}\). Jednak nie wszystkie należą do przekroju.

Nie ma żadnej sprzeczności przecięcie tego walca eliptycznego z płaszczyzną \(\displaystyle{ x+y=0}\) jest kołem.

----
edit:

Tak więc \(\displaystyle{ M \subseteq \{(x, y, z) | 2y^2 +z^2 \le 1 \}}\) ale nie \(\displaystyle{ M = \{(x, y, z) | 2y^2 +z^2 \le 1\}}\).

No, ale zazwyczaj wstawianie jednego z równań do drugiego daje to co jest w przekroju. Kiedy tak jest? No dobrze, a jak byśmy nie mieli nierówności tylko równość i taki układ:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=-y\\x^2+y^2+z^2 = 1 \end{cases}}\)

To czy wstawienie pierwszego równania do drugiego da przekrój?