Oblicz całkę powierzchniową
-
- Użytkownik
- Posty: 3392
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 975 razy
- Pomógł: 3 razy
Oblicz całkę powierzchniową
Oblicz całkę powierzchniową
\(\displaystyle{ \int_{M}^{}F\sigma_2(d(x,y,z))}\),
gdzie \(\displaystyle{ F(x,y,z)=y}\), a \(\displaystyle{ M}\) jest powierzchnią wyciętą z kuli jednostkowej w \(\displaystyle{ \RR^3}\) o środku \(\displaystyle{ (0,0,0)}\) przzeez płaszczyznę \(\displaystyle{ x=-y}\).
To po pierwsze co się kryje za tym zapisem pod całką? Czy to jest to samo co po prostu:
\(\displaystyle{ \int_{M}^{}F(x,y,z) \mbox{d}M}\)? A po drugie jak sobie poradzić z tym, że nie jest jawnie wyznaczone \(\displaystyle{ z(x,y)}\)?
\(\displaystyle{ \int_{M}^{}F\sigma_2(d(x,y,z))}\),
gdzie \(\displaystyle{ F(x,y,z)=y}\), a \(\displaystyle{ M}\) jest powierzchnią wyciętą z kuli jednostkowej w \(\displaystyle{ \RR^3}\) o środku \(\displaystyle{ (0,0,0)}\) przzeez płaszczyznę \(\displaystyle{ x=-y}\).
To po pierwsze co się kryje za tym zapisem pod całką? Czy to jest to samo co po prostu:
\(\displaystyle{ \int_{M}^{}F(x,y,z) \mbox{d}M}\)? A po drugie jak sobie poradzić z tym, że nie jest jawnie wyznaczone \(\displaystyle{ z(x,y)}\)?
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Oblicz całkę powierzchniową
Powierzchnię jakiej figury otrzymamy, w wyniku przecięcia jednostkowej kuli o środku w punkcie \(\displaystyle{ (0,0,0)}\) płaszczyzną o równaniu \(\displaystyle{ x= -y ?}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 3392
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 975 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Oblicz całkę powierzchniową
No to będzie wielkie koło kuli zawierające punkt \(\displaystyle{ (0,0,0)}\) i którego wektor prostopadły doń będzie \(\displaystyle{ [1,1,0]}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 3392
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 975 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Oblicz całkę powierzchniową
No to dostaniemy: \(\displaystyle{ 2y^2+z^2 \le 1}\) czyli by z tego wynikało, że będzie to elipsa, ale jak to jest możliwe, że przecięcie kuli z płaszczyzną jest czymś innym niż koło?
-
- Użytkownik
- Posty: 3392
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 975 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Oblicz całkę powierzchniową
Nie bardzo sobie to mogę wyobrazić. Czyli jak to będzie: \(\displaystyle{ \int_{2y^2+z^2 \le 1}^{}y \mbox{d}S}\)
? W ten sposób?
? W ten sposób?
-
- Użytkownik
- Posty: 3392
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 975 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Oblicz całkę powierzchniową
A tak nawiasem to głupoty gadasz. Przecięciem płaszczyzny z kulą jest koło i w tym przypadku to jest koło wielkie kuli.
-
- Użytkownik
- Posty: 75
- Rejestracja: 30 lis 2014, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Edinburgh & Śląsk
- Pomógł: 13 razy
Oblicz całkę powierzchniową
W przestrzeni ta równość opisuję powierzchnie boczną walca eliptycznego, więc nie jest to elipsa.\(\displaystyle{ 2y^2 +z^2 = 1}\)
Ogólnie rzecz biorąc chcemy rozwiązać taki układ (żeby wyznaczyć co to jest \(\displaystyle{ M}\))
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=-y\\x^2+y^2+z^2 \le 1 \end{cases}}\)
Wstawienie pierwszego równania do nierówności to przejście implikacyjne więc wiemy, że te punkty muszą spełniać nierówność \(\displaystyle{ 2y^2 +z^2 \le 1}\). Jednak nie wszystkie należą do przekroju.
Nie ma żadnej sprzeczności przecięcie tego walca eliptycznego z płaszczyzną \(\displaystyle{ x+y=0}\) jest kołem.
----
edit:
Tak więc \(\displaystyle{ M \subseteq \{(x, y, z) | 2y^2 +z^2 \le 1 \}}\) ale nie \(\displaystyle{ M = \{(x, y, z) | 2y^2 +z^2 \le 1\}}\).
Ostatnio zmieniony 9 sie 2018, o 17:29 przez _Michal, łącznie zmieniany 4 razy.
-
- Użytkownik
- Posty: 75
- Rejestracja: 30 lis 2014, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Edinburgh & Śląsk
- Pomógł: 13 razy
Re: Oblicz całkę powierzchniową
No tak, ale użytkownik max123321 zauważył, że \(\displaystyle{ M}\) musi być kołem, bo przecięcie kuli płaszczyzną może być zbiorem pustym, punktem lub kołem. To doprowadziło go do sprzeczności bo przecież to równanie opisuję, według niego elipsę (nie będącą kołem).janusz47 pisze:W płaszczyżnie Oyz to równanie opisuje elipsę a nie powierzchnię walca eliptycznego.
Toteż tłumaczę dlaczego nie ma sprzeczności bo w przestrzeni to nie jest równanie elipsy, a cześć wspólna walca eliptycznego i płaszczyzny może być kołem.
----
edit:
Nie może tak być, bo jak pisałem wyżej nierówność \(\displaystyle{ 2y^2+z^2 \le 1}\) nie opisuje płatu \(\displaystyle{ M}\).max123321 pisze:Nie bardzo sobie to mogę wyobrazić. Czyli jak to będzie: \(\displaystyle{ \int_{2y^2+z^2 \le 1}^{}y \mbox{d}S}\)
? W ten sposób?
Ostatnio zmieniony 9 sie 2018, o 16:14 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Oblicz całkę powierzchniową
Powierzchnią boczną \(\displaystyle{ M}\) w przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^3}\) jest:
-powierzchnia \(\displaystyle{ S_{1}}\) - walca eliptycznego o równaniu:
\(\displaystyle{ \frac{y^2}{\frac{1}{2}}+ \frac{z^2}{1} = 1}\)
\(\displaystyle{ S_{1}: \ \ y = \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{z^2}{2}}.}\)
- powierzchnia \(\displaystyle{ S_{2}}\) - zawarta w jednostkowej kuli - kawałka płaszczyzny o równaniu:
\(\displaystyle{ S_{2}: \ \ -y = x.}\)
Rzut obu tych powierzchni \(\displaystyle{ E}\) na płaszczyznę \(\displaystyle{ Oxz}\) jest elipsą o równaniu:
\(\displaystyle{ \frac{x^2}{\frac{1}{2}} + \frac{z^2}{1} = 1.}\)
Obliczamy całki powierzchniowe niezorientowane odpowiednio po powierzchniach:
\(\displaystyle{ S_{1}:}\)
\(\displaystyle{ I_{1} = 2 \iint_{(E)} y \sqrt{1 + \left(\frac{\partial y}{ \partial x} \right)^2+ \left (\frac{\partial y}{\partial z}\right )^2} dz dx}\) (1)
\(\displaystyle{ S_{2}:}\)
\(\displaystyle{ I_{2} = \iint_{(E)} y \sqrt{1 + \left(\frac{\partial y}{ \partial x}\right)^2+ \left(\frac{\partial y}{\partial z}\right )^2} dz dx}\) (2)
Całka \(\displaystyle{ I}\) po powierzchi \(\displaystyle{ M}\) jest sumą tych dwóch całek:
\(\displaystyle{ I = I_{1} + I_{2}.}\)
Proszę znaleźć elementy płatów powierzchni, obliczając pochodne cząstkowe równań powierzchni \(\displaystyle{ S_{1}, S_{2}.}\)
Zamienić całki podwójne (1), (2) na całki podwójne iterowane po elipsie \(\displaystyle{ E.}\)
-powierzchnia \(\displaystyle{ S_{1}}\) - walca eliptycznego o równaniu:
\(\displaystyle{ \frac{y^2}{\frac{1}{2}}+ \frac{z^2}{1} = 1}\)
\(\displaystyle{ S_{1}: \ \ y = \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{z^2}{2}}.}\)
- powierzchnia \(\displaystyle{ S_{2}}\) - zawarta w jednostkowej kuli - kawałka płaszczyzny o równaniu:
\(\displaystyle{ S_{2}: \ \ -y = x.}\)
Rzut obu tych powierzchni \(\displaystyle{ E}\) na płaszczyznę \(\displaystyle{ Oxz}\) jest elipsą o równaniu:
\(\displaystyle{ \frac{x^2}{\frac{1}{2}} + \frac{z^2}{1} = 1.}\)
Obliczamy całki powierzchniowe niezorientowane odpowiednio po powierzchniach:
\(\displaystyle{ S_{1}:}\)
\(\displaystyle{ I_{1} = 2 \iint_{(E)} y \sqrt{1 + \left(\frac{\partial y}{ \partial x} \right)^2+ \left (\frac{\partial y}{\partial z}\right )^2} dz dx}\) (1)
\(\displaystyle{ S_{2}:}\)
\(\displaystyle{ I_{2} = \iint_{(E)} y \sqrt{1 + \left(\frac{\partial y}{ \partial x}\right)^2+ \left(\frac{\partial y}{\partial z}\right )^2} dz dx}\) (2)
Całka \(\displaystyle{ I}\) po powierzchi \(\displaystyle{ M}\) jest sumą tych dwóch całek:
\(\displaystyle{ I = I_{1} + I_{2}.}\)
Proszę znaleźć elementy płatów powierzchni, obliczając pochodne cząstkowe równań powierzchni \(\displaystyle{ S_{1}, S_{2}.}\)
Zamienić całki podwójne (1), (2) na całki podwójne iterowane po elipsie \(\displaystyle{ E.}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 3392
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 975 razy
- Pomógł: 3 razy
Oblicz całkę powierzchniową
No, ale zazwyczaj wstawianie jednego z równań do drugiego daje to co jest w przekroju. Kiedy tak jest? No dobrze, a jak byśmy nie mieli nierówności tylko równość i taki układ:_Michal pisze:W przestrzeni ta równość opisuję powierzchnie boczną walca eliptycznego, więc nie jest to elipsa.\(\displaystyle{ 2y^2 +z^2 = 1}\)
Ogólnie rzecz biorąc chcemy rozwiązać taki układ (żeby wyznaczyć co to jest \(\displaystyle{ M}\))
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=-y\\x^2+y^2+z^2 \le 1 \end{cases}}\)
Wstawienie pierwszego równania do nierówności to przejście implikacyjne więc wiemy, że te punkty muszą spełniać nierówność \(\displaystyle{ 2y^2 +z^2 \le 1}\). Jednak nie wszystkie należą do przekroju.
Nie ma żadnej sprzeczności przecięcie tego walca eliptycznego z płaszczyzną \(\displaystyle{ x+y=0}\) jest kołem.
----
edit:
Tak więc \(\displaystyle{ M \subseteq \{(x, y, z) | 2y^2 +z^2 \le 1 \}}\) ale nie \(\displaystyle{ M = \{(x, y, z) | 2y^2 +z^2 \le 1\}}\).
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=-y\\x^2+y^2+z^2 = 1 \end{cases}}\)
To czy wstawienie pierwszego równania do drugiego da przekrój?