Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej zachodzi równość

[derweise]

Witam,

hobbystycznie zajmuje się matematyką i zapoznałem się dziś z indukcją matematyczną. Po zrobieniu kilku najbardziej podstawowych zadań utknąłem na jednym z nich i prosiłbym o naprowadzenie na właściwe tory. Oto zadanie:

Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej prawdziwa jest równość:

\(\displaystyle{ 1+11+111+111...11= \frac{1}{81} ( 10 ^{n+1} -9n-10)}\)

1.
\(\displaystyle{ n=1\\ L=1\\ P=\frac{1}{81} (10 ^{1+1} -9-10)=1}\)

więc \(\displaystyle{ L=P}\)


2. \(\displaystyle{ k\ge n}\)
\(\displaystyle{ 1+11+111+111...11= \frac{1}{81} (10 ^{k+1} -9k-10)}\)

3. \(\displaystyle{ n=k+1}\)

\(\displaystyle{ 1+11+111+111...11+k+1= \frac{1}{81} (10 ^{k+1+1} -9(k+1)-10) \\
L= \frac{1}{81} (10 ^{k+1} -9k-10)+k+1 \\
P= \frac{1}{81}(10 ^{k+2} -9(k+1)-10}\)

I tu mi już coś nie pasuje i nie daje mi spokoju:)

[Jan Kraszewski]

2. \(\displaystyle{ k\ge n}\)

A co to za dziwne założenie?

3. \(\displaystyle{ n=k+1}\)

\(\displaystyle{ 1+11+111+111...11+\red k+1\black = \frac{1}{81} (10 ^{k+1+1} -9(k+1)-10)}\)

A skąd Ty wytrzasnąłeś to \(\displaystyle{ k+1}\) ? Przecież tam ma być liczba składająca się z \(\displaystyle{ k+1}\) jedynek.

JK

[derweise]

A co to za dziwne założenie?

Założyłem,że skoro równanie jest prawdziwe dla dowolnej liczby jedynek n to musi być prawdziwe dla dowolnej liczby jedynek k. Teraz widzę, że nie tędy droga.

Poprawne założenie to \(\displaystyle{ n=k \ge 1}\)

A skąd Ty wytrzasnąłeś to ? Przecież tam ma być liczba składająca się z jedynek.

Zamiast ruszyć szare komórki poleciałem schematem z zadania,które rozwiązywałem chwilę wcześniej.

Próbuje ponownie i dam znać co wyszło. Dzięki

[Jan Kraszewski]

Poprawne założenie to \(\displaystyle{ n=k \ge 1}\)

To też wygląda dość schematycznie, ale na pewno lepiej niż poprzednio. Pamiętaj, że warto rozumieć, na czym naprawdę polega indukcja matematyczna. Pisałem o tym kilka razy, np. tutaj: 336988.htm#p5105859

JK

[derweise]

Czy tę liczbę składającą się \(\displaystyle{ k+1}\) jedynek mogę zapisać jako \(\displaystyle{ 1+10 ^{1}+10 ^{2}+10 ^{n}}\) ? Czy dalej w złą stronę podążam?

[Krodinor]

Liczbę składającą się z \(\displaystyle{ k+1}\) jedynek najlepiej zapisać w ten sposób: \(\displaystyle{ \frac{1}{9} \left( 10^{k+1}-1 \right)}\)