Witam,
hobbystycznie zajmuje się matematyką i zapoznałem się dziś z indukcją matematyczną. Po zrobieniu kilku najbardziej podstawowych zadań utknąłem na jednym z nich i prosiłbym o naprowadzenie na właściwe tory. Oto zadanie:
Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej prawdziwa jest równość:
\(\displaystyle{ 1+11+111+111...11= \frac{1}{81} ( 10 ^{n+1} -9n-10)}\)
1.
\(\displaystyle{ n=1\\ L=1\\ P=\frac{1}{81} (10 ^{1+1} -9-10)=1}\)
więc \(\displaystyle{ L=P}\)
2. \(\displaystyle{ k\ge n}\)
\(\displaystyle{ 1+11+111+111...11= \frac{1}{81} (10 ^{k+1} -9k-10)}\)
3. \(\displaystyle{ n=k+1}\)
\(\displaystyle{ 1+11+111+111...11+k+1= \frac{1}{81} (10 ^{k+1+1} -9(k+1)-10) \\
L= \frac{1}{81} (10 ^{k+1} -9k-10)+k+1 \\
P= \frac{1}{81}(10 ^{k+2} -9(k+1)-10}\)
I tu mi już coś nie pasuje i nie daje mi spokoju:)
Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej zachodzi równość
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 18 lip 2018, o 19:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Świdnica
- Podziękował: 1 raz
Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej zachodzi równość
Ostatnio zmieniony 18 lip 2018, o 20:42 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Administrator
- Posty: 34334
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5204 razy
Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej zachodzi równość
A co to za dziwne założenie?derweise pisze:2. \(\displaystyle{ k\ge n}\)
A skąd Ty wytrzasnąłeś to \(\displaystyle{ k+1}\) ? Przecież tam ma być liczba składająca się z \(\displaystyle{ k+1}\) jedynek.derweise pisze:3. \(\displaystyle{ n=k+1}\)
\(\displaystyle{ 1+11+111+111...11+\red k+1\black = \frac{1}{81} (10 ^{k+1+1} -9(k+1)-10)}\)
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 18 lip 2018, o 19:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Świdnica
- Podziękował: 1 raz
Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej zachodzi równość
Założyłem,że skoro równanie jest prawdziwe dla dowolnej liczby jedynek n to musi być prawdziwe dla dowolnej liczby jedynek k. Teraz widzę, że nie tędy droga.Jan Kraszewski pisze:
A co to za dziwne założenie?
Poprawne założenie to \(\displaystyle{ n=k \ge 1}\)
Zamiast ruszyć szare komórki poleciałem schematem z zadania,które rozwiązywałem chwilę wcześniej.Jan Kraszewski pisze:A skąd Ty wytrzasnąłeś to ? Przecież tam ma być liczba składająca się z jedynek.
Próbuje ponownie i dam znać co wyszło. Dzięki
-
- Administrator
- Posty: 34334
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5204 razy
Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej zachodzi równość
To też wygląda dość schematycznie, ale na pewno lepiej niż poprzednio. Pamiętaj, że warto rozumieć, na czym naprawdę polega indukcja matematyczna. Pisałem o tym kilka razy, np. tutaj: 336988.htm#p5105859derweise pisze:Poprawne założenie to \(\displaystyle{ n=k \ge 1}\)
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 18 lip 2018, o 19:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Świdnica
- Podziękował: 1 raz
Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej zachodzi równość
Czy tę liczbę składającą się \(\displaystyle{ k+1}\) jedynek mogę zapisać jako \(\displaystyle{ 1+10 ^{1}+10 ^{2}+10 ^{n}}\) ? Czy dalej w złą stronę podążam?
Ostatnio zmieniony 18 lip 2018, o 22:15 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 207
- Rejestracja: 13 sty 2016, o 00:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 12 razy
Re: Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej zachodzi równ
Liczbę składającą się z \(\displaystyle{ k+1}\) jedynek najlepiej zapisać w ten sposób: \(\displaystyle{ \frac{1}{9} \left( 10^{k+1}-1 \right)}\)