Równanie różniczkowe z rozwiązaniem ogólnym

[Skinn]

Witam.
Mam do rozwiązania następujący problem.

Mam podane pewne równanie:
\(\displaystyle{ x''(r)+G(r) \cdot x(r)=0}\),
gdzie \(\displaystyle{ G(r)}\) jest znaną funkcją.

Oraz jego rozwiązanie:
\(\displaystyle{ x(r)= \sqrt{B(r) \cdot C} \cdot \cos [P(r)+D]}\)


1. Zadanie mówi abym podstawił rozwiązanie ogólne do pierwszego równania i abym rozważył oddzielnie sinusy i cosinusy uzyskując parę równań różniczkowych dla \(\displaystyle{ B(r)}\) i \(\displaystyle{ P(r)}\).

Starałem się to rozwiązać, próbowałem obliczyć drugą pochodną \(\displaystyle{ x''(r)}\) (która jest bardzo rozbudowana) a następnie wstawiłem ją oraz \(\displaystyle{ x(r)= \sqrt{B(r) \cdot C} \cdot \cos [P(r)+D]}\) do równania \(\displaystyle{ x''(r)+G(r) \cdot x(r)=0}\). Czy to jest dobry tok postępowania? Wiele lat nie miałem styczności z równaniami różniczkowymi.
Wówczas mam jedno równanie i dwie niewiadome \(\displaystyle{ B(r)}\) i \(\displaystyle{ P(r)}\), które nie wiem jak obliczyć.


2. Następnie mam znaleźć zależność pomiędzy \(\displaystyle{ B(r)}\) i \(\displaystyle{ P(r)}\) przez pokazanie, że jedno z wyliczonych równań różniczkowych z podpunktu pierwszego jest równoważne z warunkiem:
\(\displaystyle{ B(r) \cdot P'(r)=A}\) gdzie \(\displaystyle{ A}\) jest dowolną stałą.

Zakładam że jak obliczę \(\displaystyle{ B(r)}\) i \(\displaystyle{ P(r)}\) będę musiał zrobić pochodną \(\displaystyle{ P'(r)}\), wstawić do tego równania \(\displaystyle{ B(r) \cdot P'(r)=A}\) i próbować otrzymać stałą nie zależną od \(\displaystyle{ r}\)?

Z góry bardzo dziękuję za pomoc.