Tw. całkowe o residuach

[Bembolineob]

Korzystając z tw. całkowego o residuach oblicz

\(\displaystyle{ \int_{C}^{} \tg z dz}\)

Gdzie \(\displaystyle{ C}\) jest okręgiem zadanym równaniem
\(\displaystyle{ |z-\pi|=\pi}\)

Jak to ugryźć?

[Janusz Tracz]

Biegunami są \(\displaystyle{ z_0= \frac{\pi}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ z_1= \frac{3\pi}{2}}\) ze względy na \(\displaystyle{ \cos z}\) w mianowniku.

Jednak można pokazać że residua nie zależą od wartości bieguna.

\(\displaystyle{ \text{res}_{z_i}\left\{\tg z \right\}= \frac{\sin z}{\left( \cos z\right)' }=-1}\)

Więc

\(\displaystyle{ \oint_{C}^{} \tg z \ \mbox{d}z=2\pi i \left( -1+\left( -1\right) \right)=-4\pi i}\)

[Bembolineob]

Czyli
\(\displaystyle{ \int_{C}^{} tgz dz = 2\pi j ( \frac{\pi}{2} + \frac{3}{2} \pi)}\)

[Janusz Tracz]

Nie.

Więc

\(\displaystyle{ \oint_{C}^{} \tg z \ \mbox{d}z=2\pi i \left( -1+\left( -1\right) \right)=-4\pi i}\)

We wzorze jest suma residuów a nie biegunów.