Rozwiąż równanie różniczkowe

[rzeznikzblaviken]

Proszę o pomoc. Jak rozwiązać te równania?

a) \(\displaystyle{ x' = t + 5x}\) z podstawieniem \(\displaystyle{ v(t) = t + 5x(t)}\)
b) \(\displaystyle{ t^2x' - tx - 5t^2 = x^2}\) dla \(\displaystyle{ t > 0}\) z podstawieniem \(\displaystyle{ x(t) = tv(t)}\)
c) \(\displaystyle{ x' - 6 = (6t - 3x + 2)^2}\) z podstawieniem \(\displaystyle{ v(t) = 6t - 3x(t) + 2}\)

[kerajs]

W zadaniach b),c) sugerowane są standardowe podstawienia dla tych typów równań. W a) masz równanie liniowe, a narzucone podstawienie także da takie równanie, więc wykonywanie podstawienia jest tu tylko formą ćwiczenia przekształcania równania różniczkowego.

W każdym z zadań z podstawienia wyliczasz różniczkę występującą w równaniu różniczkowym i podstawiasz ją, oraz podstawienie do równania.
a)
\(\displaystyle{ v=t+5x \Rightarrow v'=1+5x' \rightarrow x'=v'-1}\)
co po wstawieniu do równania daje:
\(\displaystyle{ v'-1=v\\
\frac{ \mbox{d}v }{v+1}= \mbox{d}t\\
\\
.....\\
....}\)

b)
\(\displaystyle{ x=tv \Rightarrow x'=v+tv'}\)
co po wstawieniu do równania daje:
\(\displaystyle{ t^2(v+tv')-t(tv)-5t^2=(vt)^2\\
v+tv'-v-5=v^2\\
v't= 5+v^2 \\
\frac{ \mbox{d}v }{v^2+5}=\frac{ \mbox{d}t }{t}\\
\\
.....\\
....}\)

c)
\(\displaystyle{ v=6t-3x+2 \Rightarrow v'=6-3x' \rightarrow x'= 2-\frac{v'}{3}}\)
co po wstawieniu do równania daje:
\(\displaystyle{ 2-\frac{v'}{3}-6=v^2\\
\frac{ \mbox{d}v }{v^2+4}= -3\mbox{d}t \\
\\
.....\\
....}\)

Zakładam że każde z uzyskanych równań potrafisz rozwiązać, oraz wrócić do x.