Transformata Fouriera

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Mondo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 490
Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 261 razy
Pomógł: 7 razy

Transformata Fouriera

Post autor: Mondo »

Witam,

próbuję wyznaczyć transformatę Fouriera funkcji impuls:

\(\displaystyle{ F( \delta (t - t_0)) = \int_{- \infty }^{ \infty }\delta (t - t_0)e^{-j\omega t}dt =?}\)

Jak wyznaczyć całkę funkcji \(\displaystyle{ \delta (t - t_0)}\)?

Dzieki za pomoc
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7911
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Transformata Fouriera

Post autor: janusz47 »

Z definicji przekształcenia Fouriera:

\(\displaystyle{ F[\delta (t - t_0)] = \int_{- \infty }^{ \infty }\delta (t - t_0)e^{-j\omega t}dt}\) (1)

Przypomnijmy jedną z własności całkowych (własność przesunięcia) funkcji \(\displaystyle{ \delta:}\)

\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}f(t) \delta(t - t_{0})dt = f(t_{0})}\) (2)

Wykorzystując równanie (2) dla funkcji \(\displaystyle{ f(t) = e^{-j\omega t},}\)

otrzymujemy wzór na transformatę Fouriera (1)

\(\displaystyle{ F[\delta (t - t_0)] = \int_{- \infty }^{ \infty }\delta (t - t_0)e^{-j\omega t}dt = e^{-j\omega
t_{0}}.}\)
Mondo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 490
Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 261 razy
Pomógł: 7 razy

Transformata Fouriera

Post autor: Mondo »

janusz47 pisze: Przypomnijmy jedną z własności całkowych (własność przesunięcia) funkcji \(\displaystyle{ \delta:}\)

\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}f(t) \delta(t - t_{0})dt = f(t_{0})}\) (2)
No i tego mi brakowało, natomiast pojawia się pytania - jak udowodnić słuszność powyższego równania?
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7911
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Transformata Fouriera

Post autor: janusz47 »

\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}f(t) \delta(t - t_{0})dt = f(t_{0})}\)

Dowód:

Z definicji \(\displaystyle{ \delta}\) - funkcji:

\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t- t_{0})dt =\int_{-\infty}^{\infty}f(t_{0})\delta(t - t_{0})dt= f(t_{0})\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t- t_{0})dt = f(t_{0})\cdot 1 = \\ =f(t_{0}).}\)

c.n.d.
Mondo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 490
Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 261 razy
Pomógł: 7 razy

Transformata Fouriera

Post autor: Mondo »

Generalnie to mocno naciągany wydaje mi się ten dowód
Wydaje mi się też, iż zakładamy sobie (ze względu na to iż delta diraca jest 0 wszedzie poza punktem 0), że funkcja ta "filtruje każdą" przez nią pomnożoną tak, że tylko w punkcie 0 ma ona swoją wartość.

Na szczególną uwagę zasługuje to równanie:
janusz47 pisze: \(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}\delta(t- t_{0})dt = 1}\)
W jaki sposób ta całka wynosi 1? Dla mnie to bez sensu trochę

PS: co oznacza c.n.d.?
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Transformata Fouriera

Post autor: Janusz Tracz »

Nie wszystkie rzeczy można udowodniać. Definicje są często postulatami o własnościach dla nas "wygodnych" i część rzeczy jest po prosty prawdziwa z definicji. Mam na myśli

\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{ \infty }\delta (x) \ \mbox{d}x =1}\)

Ta równość jest częścią definicji (nieformalnej ale często propagowanej szczególnie na uczelniach technicznych)

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Delta_Diraca
. Dokładniejszych wyjaśnień a właściwie bardziej formalnych przynosi

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikibooks.org/wiki/Metody_matematyczne_fizyki/Dystrybucje_jako_funkcje_uog%C3%B3lnione
i definicja.

c.n.d to skrót od "co należało dowieść".
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7911
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Transformata Fouriera

Post autor: janusz47 »

Skrót c.n.d. oznacza co należało dowieść.
ODPOWIEDZ