Rozwinąć w szereg Maclaurina - krótkie pytanie
-
- Użytkownik
- Posty: 150
- Rejestracja: 20 lis 2017, o 21:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 54 razy
Rozwinąć w szereg Maclaurina - krótkie pytanie
Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję \(\displaystyle{ f(x)=\ln \left( \frac{2+x}{1+x} \right)}\). Wyznaczyć dla jakich x otrzymany szereg jest zbieżny.
Zrobiłem tak:
Liczę pochodną, potem rozkładam na ułamki proste, otrzymuję:
\(\displaystyle{ \frac{ \frac{1}{2} }{1-(- \frac{1}{2}x) } + \frac{ -1 }{1-(-x) }}\)
W obu przypadkach korzystam ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego, przy czym \(\displaystyle{ \left| q\right|<1}\) więc \(\displaystyle{ x \in (-1,1)}\), łączę wszystko pod jednym znakiem \(\displaystyle{ \sum_{}^{}}\) i całkuję, koniec końców otrzymując:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \left( -1 \right)^n \left[ \left( \frac{1}{2} \right) ^{n+1} -1 \right] \frac{1}{n+1} x ^{n+1} + C}\).
Liczę \(\displaystyle{ f(0)=c=\ln (2)}\)
Teraz liczę dziedzinę \(\displaystyle{ f(x)=\ln \left( \frac{2+x}{1+x} \right)}\), wychodzi że \(\displaystyle{ x \in (- \infty ,-2) \cup (-1,+ \infty )}\)
Część wspólna obu dziedzin to \(\displaystyle{ x \in (-1,1)}\). Sprawdzam zbieżność na krańcach: \(\displaystyle{ x= -1}\) nie należy do dziedziny logarytmu, zostaje przypadek gdy \(\displaystyle{ x=1}\). Czy mogę tutaj skorzystać z warunku koniecznego punktowej zbieżności szeregu funkcyjnego? Granica przy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\) powinna być równa zero, a jest równa \(\displaystyle{ \ln (2)}\), więc szereg nie jest zbieżny w \(\displaystyle{ x=1}\)?
Zrobiłem tak:
Liczę pochodną, potem rozkładam na ułamki proste, otrzymuję:
\(\displaystyle{ \frac{ \frac{1}{2} }{1-(- \frac{1}{2}x) } + \frac{ -1 }{1-(-x) }}\)
W obu przypadkach korzystam ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego, przy czym \(\displaystyle{ \left| q\right|<1}\) więc \(\displaystyle{ x \in (-1,1)}\), łączę wszystko pod jednym znakiem \(\displaystyle{ \sum_{}^{}}\) i całkuję, koniec końców otrzymując:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \left( -1 \right)^n \left[ \left( \frac{1}{2} \right) ^{n+1} -1 \right] \frac{1}{n+1} x ^{n+1} + C}\).
Liczę \(\displaystyle{ f(0)=c=\ln (2)}\)
Teraz liczę dziedzinę \(\displaystyle{ f(x)=\ln \left( \frac{2+x}{1+x} \right)}\), wychodzi że \(\displaystyle{ x \in (- \infty ,-2) \cup (-1,+ \infty )}\)
Część wspólna obu dziedzin to \(\displaystyle{ x \in (-1,1)}\). Sprawdzam zbieżność na krańcach: \(\displaystyle{ x= -1}\) nie należy do dziedziny logarytmu, zostaje przypadek gdy \(\displaystyle{ x=1}\). Czy mogę tutaj skorzystać z warunku koniecznego punktowej zbieżności szeregu funkcyjnego? Granica przy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\) powinna być równa zero, a jest równa \(\displaystyle{ \ln (2)}\), więc szereg nie jest zbieżny w \(\displaystyle{ x=1}\)?
Ostatnio zmieniony 29 cze 2018, o 16:40 przez AiDi, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
- Użytkownik
- Posty: 140
- Rejestracja: 3 lis 2017, o 10:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 10 razy
- Pomógł: 15 razy
Re: Rozwinąć w szereg Maclaurina - krótkie pytanie
Promień (a właściwie nawet zbiór punktów) zbieżności już implicite ustaliłeś na samym początku stosując wzór na sumę szeregu geometrycznego.
Osobiście jednak dziedziną funkcji zająłbym się na samym początku żeby w ogóle działania na logarytmie miały sens.
Osobiście jednak dziedziną funkcji zająłbym się na samym początku żeby w ogóle działania na logarytmie miały sens.
-
- Użytkownik
- Posty: 150
- Rejestracja: 20 lis 2017, o 21:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 54 razy
Re: Rozwinąć w szereg Maclaurina - krótkie pytanie
Rzecz w tym, że czasami dla \(\displaystyle{ \left| q\right| =1}\) szereg też wychodzi zbieżny.
-
- Użytkownik
- Posty: 150
- Rejestracja: 20 lis 2017, o 21:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 54 razy
Re: Rozwinąć w szereg Maclaurina - krótkie pytanie
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } x^n(1-x)}\) Sprawdź sobie dla \(\displaystyle{ x=1}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 140
- Rejestracja: 3 lis 2017, o 10:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 10 razy
- Pomógł: 15 razy
Re: Rozwinąć w szereg Maclaurina - krótkie pytanie
Ale przecież Ty zastosowałeś wzór na sumę takiego szeregu.. \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} ax^{n}}\) gdzie \(\displaystyle{ a \in \RR}\). On jest zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ |q| < 1}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 150
- Rejestracja: 20 lis 2017, o 21:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 54 razy
Re: Rozwinąć w szereg Maclaurina - krótkie pytanie
Nie wiem do czego zmierza ta dyskusja ale chodzi mi o to, że skoro szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } x^n(1-x)}\) jest zbieżny w \(\displaystyle{ x=1}\) to szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \left( -1 \right)^n \left[ \left( \frac{1}{2} \right) ^{n+1} -1 \right] \frac{1}{n+1} x ^{n+1} + \ln 2}\) również może być zbieżny w \(\displaystyle{ x=1}\). Jak to sprawdzić?
-
- Użytkownik
- Posty: 140
- Rejestracja: 3 lis 2017, o 10:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 10 razy
- Pomógł: 15 razy
Re: Rozwinąć w szereg Maclaurina - krótkie pytanie
Próbuje Ci uświadomić, że Twoje rachunki mają sens i sumują się do funkcji wyjściowej wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ x \in (-1, 1)}\).
- Lider_M
- Użytkownik
- Posty: 867
- Rejestracja: 6 maja 2005, o 12:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: MiNI PW
- Pomógł: 258 razy
Re: Rozwinąć w szereg Maclaurina - krótkie pytanie
Twierdzenie o całkowaniu szeregów potęgowych mówi, że możemy "to" robić we wnętrzu obszaru zbieżności, nie wiadomo co się dzieje na jego krańcach, co powinniśmy sprawdzić osobno. Przecież np. szereg \(\displaystyle{ \sum x^n}\) jest zbieżny wyłącznie na przedziale \(\displaystyle{ (-1,1)}\), a jego "całka", tzn. szereg \(\displaystyle{ \sum\frac{1}{n+1}x^{n+1}}\), jest zbieżny na przedziale \(\displaystyle{ [-1,1)}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 150
- Rejestracja: 20 lis 2017, o 21:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 54 razy
Rozwinąć w szereg Maclaurina - krótkie pytanie
Dokładnie o to mi chodzi. W jaki sposób sprawdzić co dzieje się na krańcu przedzialu?
-
- Użytkownik
- Posty: 817
- Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 21
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 115 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 150
- Rejestracja: 20 lis 2017, o 21:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 54 razy
Re: Rozwinąć w szereg Maclaurina - krótkie pytanie
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \left( -1 \right)^n \left[ \left( \frac{1}{2} \right) ^{n+1} -1 \right] \frac{1}{n+1} 1 ^{n+1} + \ln 2}\).
Cały problem w tym że nie wiem czy wyżej wymieniony szereg będzie zbieżny czy rozbieżny. Z jakiego kryterium tutaj skorzystać?
Poprzednie pytanie wciąż aktualne:
Cały problem w tym że nie wiem czy wyżej wymieniony szereg będzie zbieżny czy rozbieżny. Z jakiego kryterium tutaj skorzystać?
Poprzednie pytanie wciąż aktualne:
-- 1 lip 2018, o 14:31 --Ktoś coś?kylercopeland pisze:Czy mogę tutaj skorzystać z warunku koniecznego punktowej zbieżności szeregu funkcyjnego? Granica przy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\) powinna być równa zero, a jest równa \(\displaystyle{ \ln (2)}\), więc szereg nie jest zbieżny w \(\displaystyle{ x=1}\)?
Ostatnio zmieniony 30 cze 2018, o 13:57 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.