Suma szeregu

[monpor7]

znalezc promien i przedzial zbieznosc szeregu potegowego:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n(n+1)}{2^n}x^n}\), a nastepnie obliczyc jego sumę wewnątrz przedziału zbieznosci.

Wyszło mi \(\displaystyle{ x \in (-2,2)}\) ale nie wiem jak obliczyć sumę.

[Premislav]

Promień zbieżności obliczyłaś poprawnie.
Co do sumy, mniej rozpraszających ozdobników będzie, jak podstawisz \(\displaystyle{ t=\frac x 2}\), a wtedy dla \(\displaystyle{ |t|<1}\) mamy
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } n(n+1)t^{n-1}= \sum_{n=1}^{ \infty } \left(t^{n+1}\right)''=\\=\left( \sum_{n=1}^{ \infty }t^{n+1} \right)'' =\left( \frac{t^2}{1-t}\right)''}\)

Wynika to z twierdzenia o różniczkowaniu szeregów potęgowych i ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego (z tego drugiego mamy \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }t^{n+1} =\frac{t^2}{1-t}}\)).-- 28 cze 2018, o 19:19 --Czyli ta cała Twoja suma to
\(\displaystyle{ t\left( \frac{t^2}{1-t}\right)''}\)
dla \(\displaystyle{ t=\frac x 2, \ |x|<2}\).

[monpor7]

Czy to tyle? Nic więcej nie trzeba tutaj pisac?

[Premislav]

Trzeba jeszcze oczywiście policzyć tę drugą pochodną \(\displaystyle{ \frac{t^2}{1-t}}\), mnie się tego nie chce robić.-- 28 cze 2018, o 19:48 --Można też zauważyć, że ta funkcja różni się od \(\displaystyle{ \frac{1}{1-t}}\) o składnik będący wielomianem pierwszego stopnia (czyli drugie pochodne są takie same), żeby się łatwiej liczyło.

[monpor7]

Czyli:
\(\displaystyle{ \left( \frac{t^2}{1-t} \right) '' = \frac{2t-t^2 }{ \left( 1-t \right) ^2 }}\)
Tak?

-- 28 czerwca 2018, 21:17 --

Ostatecznie suma będzie się równać \(\displaystyle{ \frac{2t^2 - t^3}{ \left( 1-t \right) ^2 }}\)?

[Premislav]

Nie. To, co obliczyłaś, to jest pierwsza pochodna, zaś chodzi o drugą.

[monpor7]

Faktycznie. Zatem obliczylam druga pochodną, postawiłem i wyszło \(\displaystyle{ \frac{8x}{(2-x)^3 }}\)
I to jest koniec?

[Premislav]

No raczej nie. Pokaż, proszę, swoje obliczenia, wtedy będzie coś można poprawić. Na takie szarady więcej nie odpowiadam.

[monpor7]

Zatem:
\(\displaystyle{ \left( \frac{t^2}{1-t} \right) '= \frac{2t \left( 1-t \right) +t^2}{ \left( 1-t \right) ^2}= \frac{2t-t^2}{ \left( 1-t \right) ^2}}\)

Natomiast druga pochodna:
\(\displaystyle{ \left( \frac{2t-t^2}{ \left( 1-t \right) ^2} \right) ''= \frac{ \left( 2-2t \right) \left( 1-t \right) ^2- \left( -2+2t \right) \left( 2t-t^2 \right) }{ \left( 1-t \right) ^4}= \\=\frac{2-4t+2t^2-2t+4t^2-2t^3- \left( -4t+2t^2+4t^2-2t^3 \right) }{ \left( 1-t \right) ^4}= \frac{2-2t}{ \left( 1-t \right) ^4}= \frac{2}{ \left( 1-t \right) ^3}}\)

I podstawiam za \(\displaystyle{ t= \frac{x}{2}}\)
Zatem:

\(\displaystyle{ t \cdot \frac{2}{ \left( 1-t \right) ^3}= \frac{2 \cdot \frac{x}{2} }{ \left( 1- \frac{x}{2} \right) ^3}= \frac{8x}{ \left( 2-x \right) ^3}}\)

Prosze o sprawdzenie

[Premislav]

A nie, sorry, jest OK, zgubiłem jedną dwójkę. Niemniej jednak ogólnie radzę pisać obliczenia (wiem, że to bardziej czasochłonne), zamiast samego tylko wyniku, ponieważ to daje jasność.

[monpor7]

Dziękuję -- 28 czerwca 2018, 22:35 --Zatem to koniec zadania, tak?