Zbieżność jednostajna

[monpor7]

Zbadać zbieżność jednostajną ciągu funkcyjnego \(\displaystyle{ \left\{ f_{n}\right\}_{n \in N}}\) okreslonego wzorem
\(\displaystyle{ f_{n}(x)=nx^n(1-x)}\)
a). na przedziale \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right]}\)
b). na przedziale \(\displaystyle{ \left[ 0,a\right]}\) przy czym \(\displaystyle{ 0<a<1}\)

[Janusz Tracz]

Wydaje mi się że ciąg ten nie będzie zbieżny nawet na zbiorze z podpunktu b) co wyklucza zbieżność na zbieżność na a).

Więc punktowo zbiega \(\displaystyle{ f_n \rightarrow 0}\) czyli sprawdzamy:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty }\sup_{x\in\left[ 0,a\right] }\left| f_n\right|}\)

Można zauważyć że \(\displaystyle{ x_n= \frac{n}{n+1}\in\left[ 0,a\right]}\) oraz \(\displaystyle{ f(x_n)}\) osiąga tam wartości maksymalne (pokrywa się to z kresem górnym).

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty }\sup_{x\in\left[ 0,a\right] }\left| f_n\right|=\lim_{n\to \infty }n\left( \frac{n}{n+1} \right)^n\left( 1- \frac{n}{n+1} \right)= \frac{1}{e} \neq 0}\)

Więc nie jest spełniony warunek \(\displaystyle{ d_{\infty}\left( f_n,f\right) \rightarrow 0}\)

[monpor7]

Jak na to wpaść na egzaminie?? masz jakiś sposób?

[Premislav]

To, co napisałeś, jest tak na oko prawdą (na pewno granica tego wyrażenia się zgadza, nie chce mi się liczyć, czy akurat takie ułamki wyjdą), natomiast to pokazuje, że nie ma mowy o zbieżności jednostajnej ciągu funkcyjnego z zadania w przedziale \(\displaystyle{ [0,1]}\), a nie w \(\displaystyle{ [0,a]}\) dla \(\displaystyle{ a\in (0,1)}\). Wszakże \(\displaystyle{ \frac{n}{n+1}\stackrel{n\rightarrow \infty}\longrightarrow 1}\), więc dla dowolnego \(\displaystyle{ a\in (0,1)}\) tylko skończenie wiele wyrazów ciągu\(\displaystyle{ x_n=\frac{n}{n+1}}\) wpada do przedziału \(\displaystyle{ [0,a]}\).

Co do przedziału \(\displaystyle{ [0,a], \ a\in (0,1)}\), to wystarczy szacowanie
\(\displaystyle{ nx^n(1-x)\le \frac 1 4 n a^{n-1}}\). I w takim przedziale jak najbardziej zachodzi jednostajna zbieżność do funkcji zerowej.-- 28 cze 2018, o 18:39 --Co do pytania „jak na to wpaść": niektórzy na to wpadają, bo po prostu są inteligentni, a taki zwykły człowiek (jak np. ja) po prostu musi przerobić sporo tego typu zadań. No i się w miarę wyspać przed egzaminem.

[Janusz Tracz]

Można policzyć \(\displaystyle{ \sup_{x\in D}|f_n|}\). Ja za pomocą pochodnej to policzyłem ale pewnie jakieś szacowanie ze średnich też dało by radę.

\(\displaystyle{ f'_n=nx^n\left( \frac{n}{x}-(n+1) \right)=0 \ \Rightarrow \ x_n= \frac{n}{n+1}}\)

ważniejsze jest to że:

natomiast to pokazuje, że nie ma mowy o zbieżności jednostajnej ciągu funkcyjnego z zadania w przedziale\(\displaystyle{ [0,1]}\), a nie w\(\displaystyle{ [0,a]}\) dla\(\displaystyle{ a\in (0,1)}\). Wszakże \(\displaystyle{ \frac{n}{n+1}\stackrel{n\rightarrow \infty}\longrightarrow 1}\), więc dla dowolnego \(\displaystyle{ a\in (0,1)}\) tylko skończenie wiele wyrazów ciągu \(\displaystyle{ x_n=\frac{n}{n+1}}\) wpada do przedziału \(\displaystyle{ [0,a]}\).ie wiele wyrazów ciągu \(\displaystyle{ x_n=\frac{n}{n+1}}\) wpada do przedziału \(\displaystyle{ [0,a]}\).

Tak jest! Mój błąd bo źle zrozumiałem o co chodzi z przedziałem \(\displaystyle{ \left[ 0,a\right]}\) oczywiście to nie jest żadna wymówka. Wtopa przepraszam i dziękuję Przemku

[karolex123]

Ewentualnie, jeżeli ktoś jest w stanie domyśleć się wokół którego punktu "psuje się" (o ile się psuje) jednostajna zbieżność, to można popróbować z wymyśleniem ciągu, który temu właśnie dowodzi. Tu można wziąć np. \(\displaystyle{ x_n= \sqrt[n]{ \frac{1}{2} }}\). Wtedy \(\displaystyle{ f_n \left( x_n \right) = \frac{1}{2}n \left( 1- \sqrt[n]{ \frac{1}{2} } \right) \rightarrow \frac{\ln 2}{2}}\) przy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\)