Tw Riesza

[Roudin]

1. Korzystając z twierdzenia Riesza, pokazać, że \(\displaystyle{ f: l_{p} \rightarrow R}\) \(\displaystyle{ (1<p< \infty ), f(x)= \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{ \alpha _{n} }{2^{n-1}}}\) jest funkcjonałem liniowym ograniczonym i obliczyć jego normę.
2. Obliczyć odstęp elementu \(\displaystyle{ x=e _{1} -4e _{2}+16e _{3}}\) od podprzstrzeni \(\displaystyle{ Kerf}\)

\(\displaystyle{ l _{p}=\left\{x=( \alpha _{n} ) _{n=1} ^{ \infty } : \sum_{n=1}^{ \infty } \left| \alpha _{j} \right| ^{p}< \infty \right\}, \left| \left|x \right| \right| _{p}=( \sum_{n=1}^{ \infty }\left| \alpha _{n} \right| ^{p} ) ^{1/p}}\)

[janusz47]

1.

Liniowość wynika z liniowości sumy. Z ograniczoności w każdym przypadku wynika ciągłość.

\(\displaystyle{ |f(a_{n})|= | \sum_{n=1}^{\infty}2^{-n+1}a_{n}| \leq \sum_{n=1}^{\infty}2^{-n+1}|a_{n}|\leq \sum_{n=1}^{\infty}2^{-n+1}= 2.}\)

Równość dla ciągu stale równa \(\displaystyle{ 2}\) więc \(\displaystyle{ \parallel f \parallel = 2.}\)

Dla \(\displaystyle{ p}\) skończonego z Twierdzenia Riesza

\(\displaystyle{ \parallel f \parallel = \parallel 2^{-n+1}\parallel _{q}.}\)

Zatem dla \(\displaystyle{ p =1}\) mamy \(\displaystyle{ \parallel f \parallel =1.}\)

Dla innych \(\displaystyle{ p}\)

\(\displaystyle{ \parallel f \parallel=\sqrt[q]{2^{(-n+1)q}}=\sqrt[q]{\frac{2^{q}\cdot 2^{-q}}{1 -2^{-q}}}=\sqrt[q]{\frac{1}{1 - 2^{-q}}},}\)

gdzie

\(\displaystyle{ \frac{1}{p}+ \frac{1}{q} = 1.}\)