Witam,
próbuję wyznaczyć transformatę Fouriera funkcji impuls:
\(\displaystyle{ F( \delta (t - t_0)) = \int_{- \infty }^{ \infty }\delta (t - t_0)e^{-j\omega t}dt =?}\)
Jak wyznaczyć całkę funkcji \(\displaystyle{ \delta (t - t_0)}\)?
Dzieki za pomoc
Transformata Fouriera
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Transformata Fouriera
Z definicji przekształcenia Fouriera:
\(\displaystyle{ F[\delta (t - t_0)] = \int_{- \infty }^{ \infty }\delta (t - t_0)e^{-j\omega t}dt}\) (1)
Przypomnijmy jedną z własności całkowych (własność przesunięcia) funkcji \(\displaystyle{ \delta:}\)
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}f(t) \delta(t - t_{0})dt = f(t_{0})}\) (2)
Wykorzystując równanie (2) dla funkcji \(\displaystyle{ f(t) = e^{-j\omega t},}\)
otrzymujemy wzór na transformatę Fouriera (1)
\(\displaystyle{ F[\delta (t - t_0)] = \int_{- \infty }^{ \infty }\delta (t - t_0)e^{-j\omega t}dt = e^{-j\omega
t_{0}}.}\)
\(\displaystyle{ F[\delta (t - t_0)] = \int_{- \infty }^{ \infty }\delta (t - t_0)e^{-j\omega t}dt}\) (1)
Przypomnijmy jedną z własności całkowych (własność przesunięcia) funkcji \(\displaystyle{ \delta:}\)
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}f(t) \delta(t - t_{0})dt = f(t_{0})}\) (2)
Wykorzystując równanie (2) dla funkcji \(\displaystyle{ f(t) = e^{-j\omega t},}\)
otrzymujemy wzór na transformatę Fouriera (1)
\(\displaystyle{ F[\delta (t - t_0)] = \int_{- \infty }^{ \infty }\delta (t - t_0)e^{-j\omega t}dt = e^{-j\omega
t_{0}}.}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 490
- Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 261 razy
- Pomógł: 7 razy
Transformata Fouriera
No i tego mi brakowało, natomiast pojawia się pytania - jak udowodnić słuszność powyższego równania?janusz47 pisze: Przypomnijmy jedną z własności całkowych (własność przesunięcia) funkcji \(\displaystyle{ \delta:}\)
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}f(t) \delta(t - t_{0})dt = f(t_{0})}\) (2)
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Transformata Fouriera
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}f(t) \delta(t - t_{0})dt = f(t_{0})}\)
Dowód:
Z definicji \(\displaystyle{ \delta}\) - funkcji:
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t- t_{0})dt =\int_{-\infty}^{\infty}f(t_{0})\delta(t - t_{0})dt= f(t_{0})\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t- t_{0})dt = f(t_{0})\cdot 1 = \\ =f(t_{0}).}\)
c.n.d.
Dowód:
Z definicji \(\displaystyle{ \delta}\) - funkcji:
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t- t_{0})dt =\int_{-\infty}^{\infty}f(t_{0})\delta(t - t_{0})dt= f(t_{0})\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t- t_{0})dt = f(t_{0})\cdot 1 = \\ =f(t_{0}).}\)
c.n.d.
-
- Użytkownik
- Posty: 490
- Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 261 razy
- Pomógł: 7 razy
Transformata Fouriera
Generalnie to mocno naciągany wydaje mi się ten dowód
Wydaje mi się też, iż zakładamy sobie (ze względu na to iż delta diraca jest 0 wszedzie poza punktem 0), że funkcja ta "filtruje każdą" przez nią pomnożoną tak, że tylko w punkcie 0 ma ona swoją wartość.
Na szczególną uwagę zasługuje to równanie:
PS: co oznacza c.n.d.?
Wydaje mi się też, iż zakładamy sobie (ze względu na to iż delta diraca jest 0 wszedzie poza punktem 0), że funkcja ta "filtruje każdą" przez nią pomnożoną tak, że tylko w punkcie 0 ma ona swoją wartość.
Na szczególną uwagę zasługuje to równanie:
W jaki sposób ta całka wynosi 1? Dla mnie to bez sensu trochęjanusz47 pisze: \(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}\delta(t- t_{0})dt = 1}\)
PS: co oznacza c.n.d.?
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4068
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Re: Transformata Fouriera
Nie wszystkie rzeczy można udowodniać. Definicje są często postulatami o własnościach dla nas "wygodnych" i część rzeczy jest po prosty prawdziwa z definicji. Mam na myśli
\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{ \infty }\delta (x) \ \mbox{d}x =1}\)
Ta równość jest częścią definicji (nieformalnej ale często propagowanej szczególnie na uczelniach technicznych). Dokładniejszych wyjaśnień a właściwie bardziej formalnych przynosi i definicja.
c.n.d to skrót od "co należało dowieść".
\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{ \infty }\delta (x) \ \mbox{d}x =1}\)
Ta równość jest częścią definicji (nieformalnej ale często propagowanej szczególnie na uczelniach technicznych)
Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikipedia.org/wiki/Delta_Diraca
Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikibooks.org/wiki/Metody_matematyczne_fizyki/Dystrybucje_jako_funkcje_uog%C3%B3lnione
c.n.d to skrót od "co należało dowieść".