Równanie różniczkowe

[paweto]

\(\displaystyle{ \frac{x}{ \mbox{d}x } = Ax,


A = \left[ \begin{array}{cc}0 & 1\\ -1 & 0\end{array}\right]}\)

Mógłby mi ktoś napisać jak się zabrać za to zadanie? Wiem, że jest to układ równań różniczkowych zapisany w postaci macierzowej ale nie mam pojęcia jak to mam rozpisać. Pomoże ktoś?

[kerajs]

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1'=x_2 \\ x_2'=-x_1 \end{cases}}\)

[Janusz Tracz]

Po stronie lewej jest wektor pochodnych zapisany w dziwny niepoprawny sposób który można przedstawić jako \(\displaystyle{ \left[ y',x'\right]}\) a po stronie prawej masz iloczyn macierzy i wektora szukanych funkcji powiedzmy \(\displaystyle{ \left[ y,x\right]}\). Można to zapisać jako układ równań, po wykonaniu mnożenia mamy:

\(\displaystyle{ \begin{cases} y'=x \\ x'=-y \end{cases}}\)

gdzie \(\displaystyle{ x,y}\) to funkcje zmiennej \(\displaystyle{ t}\). Po zróżniczkowaniu pierwszego równania i wstawianiu do drugiego mamy

\(\displaystyle{ y''=-y}\)

co daje się rozwiązać standardowymi metodami dla równań drugiego rzędu ze stałymi współczynnikami

\(\displaystyle{ y=C_1\sin t+C_2\cos t}\)

a ponieważ \(\displaystyle{ x=y'}\) to

\(\displaystyle{ x=\left(C_1\sin t+C_2\cos t \right)'}\)

[Benny01]

Macierz \(\displaystyle{ A}\) mamy w postaci Jordana.
Rozwiązaniem układu jest \(\displaystyle{ x=e^{At} \cdot c \Rightarrow x= \begin{bmatrix} \cos t & \sin t \\- \sin t& \cos t \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} c_1\\c_2\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ x_1=c_1 \cdot \cos t +c_2 \cdot \sin t}\)

\(\displaystyle{ x_2=-c_1 \cdot \sin t + c_2 \cdot \cos t}\)

[paweto]

Czyli po lewej i prawej stronie mam wektory, tak?
Po lewej stronie: \(\displaystyle{ x'}\) - wektor
Po prawej stronie: \(\displaystyle{ A}\) - macierz, \(\displaystyle{ x}\) - wektor

Wektor po lewej stronie zapisuję sobie najlepiej jako \(\displaystyle{ [ x'_{1}, x'_{2} ]}\), a wektor po prawej jako: \(\displaystyle{ [ x_{1}, x_{2} ]}\) i rozwiązuję tymi metodami dla równań drugiego rzędu ze stałymi współczynnikami, tak? A gdy mam coś takiego tylko z macierzą \(\displaystyle{ _{3x3}}\) to robię analogicznie do tego powyżej?

[Janusz Tracz]

Czyli po lewej i prawej stronie mam wektory, tak?
Po lewej stronie: \(\displaystyle{ x'}\) - wektor
Po prawej stronie: \(\displaystyle{ A}\) - macierz, \(\displaystyle{ x}\) - wektor

Tak. Możesz zapisać \(\displaystyle{ x_1,x_2,x_3}\) albo \(\displaystyle{ x,y,z}\) to nie ma znaczenia. Co do samych metod rozwiązywania to jest ich sporo ja wybrałem metodę która sprowadziła układ równań pierwszego stopnia do równania stopnia drugiego, Benny01 wybrał inną metodę a można było jeszcze inaczej za pomocą transformaty Laplace’a. Jeśli masz układ \(\displaystyle{ 3 \times 3}\) to też można stosować takie metody.

[kerajs]

Czyli po lewej i prawej stronie mam wektory, tak?
Po lewej stronie: \(\displaystyle{ x'}\) - wektor
Po prawej stronie: \(\displaystyle{ A}\) - macierz, \(\displaystyle{ x}\) - wektor

Tak, masz macierz niewiadomych (po prawej) i macierz pochodnych po tych niewiadomych (po lewej stronie)

Wektor po lewej stronie zapisuję sobie najlepiej jako \(\displaystyle{ [ x'_{1}, x'_{2} ]}\), a wektor po prawej jako: \(\displaystyle{ [ x_{1}, x_{2} ]}\)

Raczej:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} x_1'\\x_2'\end{bmatrix} \ \ lub \ \ \begin{bmatrix} \frac{ \mbox{d}x_1 }{ \mbox{d}x } \\ \frac{ \mbox{d}x_2 }{ \mbox{d}x}\end{bmatrix} \ \ oraz \ \ \begin{bmatrix} x_1\\x_2\end{bmatrix}}\)
Zauważ że, o ile nie pomyliłeś się przy przepisywaniu, to \(\displaystyle{ x_1=f(x) \wedge x_2=g(x)}\)

i rozwiązuję tymi metodami dla równań drugiego rzędu ze stałymi współczynnikami, tak?

Stosujesz metodę którą narzuca treść zadania lub rozwiązujesz dowolną znaną Ci metodą.

A gdy mam coś takiego tylko z macierzą \(\displaystyle{ _{3x3}}\) to robię analogicznie do tego powyżej?

Tak.-- 24 cze 2018, o 15:34 --Ech, przegapiłem odpowiedź Janusza Tracza. Sorry.