Pokazać że relacja jest zwrotna, spójna i przechodnia

[mac18]

Dany jest zbiór \(\displaystyle{ \Omega}\) wszystkich obecnych studentów uczelni X - oraz relacje na tym zbiorze:
\(\displaystyle{ a \succeq _{P} b \Leftrightarrow}\) \(\displaystyle{ a}\) jest tej samej płci co \(\displaystyle{ b}\),
\(\displaystyle{ a \succeq _{G} b \Leftrightarrow}\) istnieje taka grupa ćwiczeniowa, do której należą \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\)
Dla każdej z powyższych relacji sprawdzić, czy jest ona zwrotna, spójna, przechodnia na zbiorze \(\displaystyle{ \Omega}\)

Prosiłbym o zrobienie pierwszego podpunktu. Drugi spróbuję sam.
Wiem co oznaczają w teorii te relacje, ale jakoś trudno mi to przełożyć na matematykę

[Jan Kraszewski]

Bierzesz definicje własności i sprawdzasz. Co to znaczy, że relacja jest zwrotna?

JK

[mac18]

Oki. Ze zwrotnością i przechodniością nie mam problemów. Ze spójnością mam problem:
\(\displaystyle{ \forall a, b \in \Omega : (a \succeq b) \lor (b \succeq a)}\) co oznacza, że osoba a jest tej samej płci co osoba b lub osoba b jest tej samej płci co osoba a.

Przez zaprzeczenie: istnieje taka para studentów, że a nie jest takiej samej płci co b i b nie jest takiej samej płci co a - co jest prawdziwe. Więc relacja nie jest spójna.

Poprawne rozumowanie ?

[Jan Kraszewski]

Poprawne. Jeszcze lepiej wskazać dwoje konkretnych studentów uczelni \(\displaystyle{ X}\) różnej płci jako kontrprzykład na spójność tej relacji.

JK

[mcm37]

Cześć
mam zadanie podobnego typu: Dany jest zbiór N wszystkich studentek uczelni Z. Określmy następujące relacje:
• \(\displaystyle{ a \succeq _{M} b \Leftrightarrow}\) a mieszka w tej samej miejscowości co b
• \(\displaystyle{ a \succeq _{W} b \Leftrightarrow}\) a jest współlokatorką b
• \(\displaystyle{ a \succeq _{P} b \Leftrightarrow}\) a zjadła w Tłusty Czwartek nie więcej pączków niż b
Mam sprawdzić, czy relacja jest zwrotna, przechodnia, spójna i (słabo) antysymetryczna. O ile rozumiem pierwsze trzy, to mam problem, żeby wykazać czy relacje są antysymetryczne czy nie. Czy mogę prosić o pomoc i wytłumaczenie tego zagadnienia tak na chłopski rozum?

[Jan Kraszewski]

Jeżeli masz problem z definicją słabej antysymetrii:

\(\displaystyle{ (\forall a,b\in N)(a\preceq b\land b\preceq a \Rightarrow a=b)}\)

to możesz użyć warunku równoważnego:

\(\displaystyle{ (\forall a,b\in N)(a\ne b \Rightarrow (a\preceq b \Rightarrow \neg b\preceq a).}\)

Inne podejście, czasem działające - warto zastanowić się, czy rozpatrywana relacja nie jest przypadkiem symetryczna. Wtedy prawie na pewno nie będzie słabo antysymetryczna.

A brak słabej antysymetrii zawsze uzasadnia się podając kontrprzykład, czyli w tym przypadku dwie różne studentki \(\displaystyle{ a,b}\), dla których zachodzi zarówno \(\displaystyle{ a\preceq b}\), jaki \(\displaystyle{ b\preceq a}\).

Oczywiście w podanym zadaniu odpowiedź nie jest jednoznaczna, bo zależy też od dodatkowych informacji, których nie znamy i być może tę niejednoznaczność należy opisać w odpowiedzi.

Zastanów się zatem nad tym, co by było, gdyby
- każda studentka pochodziła z innej miejscowości;
- żadne dwie studentki nie mieszkały ze sobą;
- każda studentka zjadła w Tłusty Czwartek inną liczbę pączków.

JK

[a4karo]

Poprawne. Jeszcze lepiej wskazać dwoje konkretnych studentów uczelni \(\displaystyle{ X}\) różnej płci jako kontrprzykład na spójność tej relacji.

JK

A jeżeli tą uczelnią jest seminarium?