Transformata Laplace'a

[ziomek1906]

Cześć, proszę o pomoc w rozwiązaniu układu równania rózniczkowego stosując transformację Laplace'a przy warunkach początkowych: \(\displaystyle{ y(0)=1, z(0)=1}\)

\(\displaystyle{ y'+5y+2z=0, \\
z'-y+7z=0}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} L(y')+5L(y)+2L(z)=L(0) \\ L(z')-L(y)+7L(z)=L(0) \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} L[y']=sL(y)-y(0)=sL(y)-1 \\ L[z']=sL(z)-z(0)=sL(z)-1 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} sL(y)-1+5L(y)+2L(z)=0 \\ sL(z)-1-L(y)+7L(z)=0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} (s+5)L(y)+2L(z)=1 \\ -L(y)+(s+7)L(z)=1 \end{cases}}\)


\(\displaystyle{ W=}\)\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} (s+5)&2\\-1&(s+7)\end{vmatrix}}\) \(\displaystyle{ =s ^{2}+12s+37}\)

\(\displaystyle{ W_{L(y)} =}\)\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 1&2\\1&(s+7)\end{vmatrix}}\) \(\displaystyle{ =s+5}\)

\(\displaystyle{ W_{L(z)} =}\)\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} (s+5)&1\\-1&1\end{vmatrix}}\) \(\displaystyle{ =s+6}\)


\(\displaystyle{ L(y)= \frac{s+5}{s ^{2}+12s+37}}\)

\(\displaystyle{ L(z)= \frac{s+6}{s ^{2}+12s+37}}\)

Z tablic nic mi nie wychodzi, a z odpowiedzi wynika, że powinien wyjść następujący wynik:
\(\displaystyle{ y=e ^{-6t}\cos t \\
z=e ^{-6t}(\cos t-\sin t)}\)

Będę bardzo wdzięczny za wszelką pomoc i odpowiednie nakierowanie na wyższe odpowiedzi!

[Benny01]

Chyba zamieniłeś odpowiedzi, bo:

\(\displaystyle{ L\left( y\right) =\frac{s+5}{s^2+12s+37}=\frac{s+6}{\left( s+6\right)^2+1}-\frac{1}{\left( s+6\right)^2+1}}\)
\(\displaystyle{ y=e^{-6t} \cos t - e^{-6t} \sin t}\)

W drugiej transformacji masz tylko pierwszy czynnik.