[Planimetria]Okrąg wpisany w okrąg styczny do średnicy
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
- WolfusA
- Użytkownik
- Posty: 208
- Rejestracja: 27 sty 2017, o 19:43
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 9 razy
[Planimetria]Okrąg wpisany w okrąg styczny do średnicy
Izrael 1995
Niech \(\displaystyle{ PQ}\) będzie średnicą półokręgu \(\displaystyle{ h}\). Okrąg \(\displaystyle{ o}\) jest wewnętrznie styczny do \(\displaystyle{ h}\) i styczny do średnicy \(\displaystyle{ PQ}\) w punkcie \(\displaystyle{ C}\). Niech \(\displaystyle{ A\in h\wedge B\in PQ}\) będą takimi punktami, że \(\displaystyle{ AB\perp PQ}\) oraz odcinek \(\displaystyle{ AB}\) jest styczny do okręgu \(\displaystyle{ o}\). Wykaż, że półprosta \(\displaystyle{ \overrightarrow{AC}}\) jest dwusieczną \(\displaystyle{ \angle PAB}\).
Niech \(\displaystyle{ PQ}\) będzie średnicą półokręgu \(\displaystyle{ h}\). Okrąg \(\displaystyle{ o}\) jest wewnętrznie styczny do \(\displaystyle{ h}\) i styczny do średnicy \(\displaystyle{ PQ}\) w punkcie \(\displaystyle{ C}\). Niech \(\displaystyle{ A\in h\wedge B\in PQ}\) będą takimi punktami, że \(\displaystyle{ AB\perp PQ}\) oraz odcinek \(\displaystyle{ AB}\) jest styczny do okręgu \(\displaystyle{ o}\). Wykaż, że półprosta \(\displaystyle{ \overrightarrow{AC}}\) jest dwusieczną \(\displaystyle{ \angle PAB}\).
Ostatnio zmieniony 18 cze 2018, o 22:11 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- timon92
- Użytkownik
- Posty: 1657
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 472 razy
[Planimetria]Okrąg wpisany w okrąg styczny do średnicy
Coś jest nie tak z treścią, to można tak narysować, że półprosta \(\displaystyle{ AC}\) nawet nie leży wewnątrz kąta \(\displaystyle{ PAB}\)
Ostatnio zmieniony 18 cze 2018, o 21:55 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 926
- Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 274 razy
[Planimetria]Okrąg wpisany w okrąg styczny do średnicy
Let \(\displaystyle{ PQ}\) be the diameter of semicircle \(\displaystyle{ H}\). Circle \(\displaystyle{ O}\) is internally tangent to \(\displaystyle{ H}\) and tangent to \(\displaystyle{ PQ}\) at \(\displaystyle{ C}\). Let \(\displaystyle{ A}\) be a point on \(\displaystyle{ H}\) and \(\displaystyle{ B}\) a point on \(\displaystyle{ PQ}\) such that \(\displaystyle{ AB \perp PQ}\) and is tangent to \(\displaystyle{ O}\). Prove that \(\displaystyle{ AC}\) bisects \(\displaystyle{ \angle PAB}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 4211
- Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków PL
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 758 razy
[Planimetria]Okrąg wpisany w okrąg styczny do średnicy
WolfusA nie popełnił błędu przy tłumaczeniu, więc temat zadania nie jest dobrze zredagowany. Ale poniższy już jest:
- Niech \(\displaystyle{ PQ}\) będzie średnicą półokręgu \(\displaystyle{ h}\). Okrąg \(\displaystyle{ o}\) jest wewnętrznie styczny do \(\displaystyle{ h}\) i styczny do średnicy \(\displaystyle{ PQ}\) w punkcie \(\displaystyle{ C}\). Niech \(\displaystyle{ \newrgbcolor{dg}{0 0.5 0}A\in h\wedge B\in\!{\dg{\textit{\textbf{C}}}}\hspace{1pt}Q}\) będą takimi punktami, że \(\displaystyle{ AB\perp PQ}\) oraz odcinek \(\displaystyle{ AB}\) jest styczny do okręgu \(\displaystyle{ o}\). Wykaż, że półprosta \(\displaystyle{ \overrightarrow{AC}}\) jest dwusieczną \(\displaystyle{ \angle PAB}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 4211
- Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków PL
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 758 razy
[Planimetria]Okrąg wpisany w okrąg styczny do średnicy
Punkt styczności \(\displaystyle{ {\red{o}}}\) z \(\displaystyle{ {\red{AB}}}\) to \(\displaystyle{ {\red{A}}}\), punkt styczności \(\displaystyle{ o}\) z \(\displaystyle{ PQ}\) to \(\displaystyle{ C}\) i punkty te wraz punktem \(\displaystyle{ Q}\) nie są współliniowe.
Edit: 2018-06-20 00:20
Źle sobie oznaczyłem punkty. Oczywiście \(\displaystyle{ A\not\in o}\), co podkreślił Kruszewski.
Edit: 2018-06-20 00:20
Źle sobie oznaczyłem punkty. Oczywiście \(\displaystyle{ A\not\in o}\), co podkreślił Kruszewski.
-
- Użytkownik
- Posty: 6882
- Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów
- Podziękował: 50 razy
- Pomógł: 1112 razy
Re: [Planimetria]Okrąg wpisany w okrąg styczny do średnicy
Punkt \(\displaystyle{ A}\) przynależy do \(\displaystyle{ h}\) co wyraźnie zapisane jest w treści zadania ale nie przynależy do \(\displaystyle{ o}\) bo przeczyłoby to jednoczesnej styczności z \(\displaystyle{ AB\perp PQ}\)
Z wzajemnej prostopadłości odpowiednich ramion kątów
\(\displaystyle{ \angle AQP, \ \angle PAB}\)
Rysynek z błędnym opisem zauważonym przez Kolegę WolfusA usunąłem bo wymaga przemeblowania.
Przepraszam.
W.Kr.
Poprawiony rysunek poniżej.
Zauważmy, że proste do której przynależą odcinki \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ QD}\) są symetralnymi czworokątów
\(\displaystyle{ CQAD}\) i \(\displaystyle{ CH'AH}\) która są rombami. Stąd po położeniu połowy rombu
\(\displaystyle{ CH'AH}\)
przez obrót wokoło jednej lub drugiej osi symetrii na drugą płowę zauważamy równość kątów \(\displaystyle{ \angle \beta = \angle \gamma}\)
co prowadzi do wniosku, że prosta dana punktami \(\displaystyle{ A \ i \ C}\) jest dwusieczną kąta \(\displaystyle{ \angle BAP}\) cbdo.
Z wzajemnej prostopadłości odpowiednich ramion kątów
\(\displaystyle{ \angle AQP, \ \angle PAB}\)
Rysynek z błędnym opisem zauważonym przez Kolegę WolfusA usunąłem bo wymaga przemeblowania.
Przepraszam.
W.Kr.
Poprawiony rysunek poniżej.
Zauważmy, że proste do której przynależą odcinki \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ QD}\) są symetralnymi czworokątów
\(\displaystyle{ CQAD}\) i \(\displaystyle{ CH'AH}\) która są rombami. Stąd po położeniu połowy rombu
\(\displaystyle{ CH'AH}\)
przez obrót wokoło jednej lub drugiej osi symetrii na drugą płowę zauważamy równość kątów \(\displaystyle{ \angle \beta = \angle \gamma}\)
co prowadzi do wniosku, że prosta dana punktami \(\displaystyle{ A \ i \ C}\) jest dwusieczną kąta \(\displaystyle{ \angle BAP}\) cbdo.
Ostatnio zmieniony 20 cze 2018, o 13:21 przez kruszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
- WolfusA
- Użytkownik
- Posty: 208
- Rejestracja: 27 sty 2017, o 19:43
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 9 razy
Re: [Planimetria]Okrąg wpisany w okrąg styczny do średnicy
Skoro prosta \(\displaystyle{ AQ}\) nie jest styczna do \(\displaystyle{ o}\), zaś prosta \(\displaystyle{ PQ}\) jest styczna, to jakim cudem punkt \(\displaystyle{ S_o}\) leży na dwusiecznej kąta \(\displaystyle{ AQP}\)?
-
- Użytkownik
- Posty: 393
- Rejestracja: 22 wrz 2013, o 21:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bonn
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 63 razy