Środek ciężkości obszaru D z całek o zadanej gęstości

[shotgungtasa]

Mam takie zadanko:
Oblicz środek ciężkości obszaru \(\displaystyle{ D}\) ograniczonego wykresami \(\displaystyle{ y=x+1}\) oraz \(\displaystyle{ y=x^{2}-1}\) o zadanej gęstości \(\displaystyle{ \rho(x,y)=ky}\).
Jeśli można, to prosił bym o całkowite rozwiązanie. Mam obliczoną powierzchnię z tego obszaru, ale też nie jestem pewien czy dobrze to zrobiłem, dlatego chciał bym sprawdzić.

[SlotaWoj]

W tematu zadania wynika, że poniżej osi \(\displaystyle{ 0y}\) gęstość jest ujemna. Czy na pewno tak ma być?
Zakładam, że masz obliczyć współrzędne środka masy, a czy masa elementarna może być ujemna?

We wzorze na współrzędną \(\displaystyle{ y}\)-kową środka masy (dla współrzędnej \(\displaystyle{ x}\)-wej analogicznie):

• \(\displaystyle{ y_s=\frac{\iint_D \varrho(x,y)\,y\,dD}{\iint_D \varrho(x,y)\,dD}}\)

w mianowniku jest masa, a nie powierzchnia.

Możliwe jest też, że masz obliczyć położenie wypadkowej pochodzącej od obciążenia ciągłego o zmiennej wartości (ono może być ujemne), ale wówczas nie mówimy o gęstości i wtedy w mianowniku odpowiedniego i podobnego do tego co powyżej wzoru jest powierzchnia.

[shotgungtasa]

Tak mam obliczyć współrzędne środka masy. W takim razie jeżeli masa elementarna wyszłaby ujemna, to właściwym było by wstawienie jej do wartości bezwzględnej? I czy dobrze policzyłem powierzchnię? Wyszło mi \(\displaystyle{ 7,5}\).

[SlotaWoj]

Tak mam obliczyć współrzędne środka masy, w takim razie jeżeli masa elementarna wyszłaby ujemna. to właściwym było by wstawienie jej do wartości bezwzględnej?

W temacie zadania powinno być wyraźnie napisane, że \(\displaystyle{ \varrho(x,y)=\left|kx\right|}\) .

... I czy dobrze policzyłem powierzchnię? Wyszło mi \(\displaystyle{ 7,5}\).

Powierzchnia wynosi \(\displaystyle{ 4,5}\). Ale (pisałem wcześniej) ta całka w mianowniku to masa, a nie powierzchnia.

[shotgungtasa]

Ok, dzięki wielkie, teraz powinno pójść z górki.