Równanie różniczkowe - metoda charakterystyk

[Otwieracz]

Cześć,
mam problem ze zrozumiem rozwiązania zadania: Metoda charakterystyk rozwiąż równanie różniczkowe:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2} u }{ \partial x ^{2} }-2 \frac{ \partial ^{2}u }{ \partial x \partial y}=0}\), dla \(\displaystyle{ (x,y) \in D=\RR ^{2}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} u(0,y)=0\\ \frac{ \partial u}{ \partial x}(0,y)=4y \end{cases}}\), dla \(\displaystyle{ y \in \RR}\)

1. Wyznaczam deltę \(\displaystyle{ = 0}\) - typ paraboliczny
2. Podstawiam współczynniki do wzoru \(\displaystyle{ A(x,y)(dy) ^{2}-B(x,y)dydx+C(x,y)dx ^{2}=0}\), wynikiem jest \(\displaystyle{ dy=dx}\)
3. \(\displaystyle{ \int dy=\int dx}\)
\(\displaystyle{ y=x+C}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} C=y-x\\ D=x\end{cases}}\) - za drugie rozwiązanie przyjmuję \(\displaystyle{ x}\)
4. Przyjmuję przekształcenie
\(\displaystyle{ \xi (x,y)=y-x}\)
\(\displaystyle{ \eta (x,y)=x}\)
5. Liczę pochodne cząstkowe.
\(\displaystyle{ \frac{ \partial \xi}{ \partial x}=-1 , \frac{ \partial \eta}{ \partial x}=1 , \frac{ \partial \xi}{ \partial y}=1 , \frac{ \partial \eta}{ \partial y}= 0}\)
Pochodne drugiego rzędy \(\displaystyle{ = 0}\).
6. Podstawiam do wzorów i liczę:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2}u }{ \partial x ^{2} } , \frac{ \partial ^{2}u }{ \partial x \partial y } , \frac{ \partial ^{2}u }{ \partial y ^{2} }}\)
i podstawiam do równania:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2}u }{ \partial x ^{2} }-2 \frac{ \partial ^{2}u }{ \partial x \partial y}=0}\)
wynikiem jest: \(\displaystyle{ \frac{ \partial ^{2}\hat{u} }{ \partial \eta^{2} }=0}\)
7. Dalej mam doprowadzić do rozwiązania ogólnego
\(\displaystyle{ \int \frac{ \partial }{ \partial \eta} \frac{ \partial \hat{u}}{ \partial \eta} \partial \eta=\int0d \eta}\)
i skąd dalej bierze się: (dlaczego wynikiem jest \(\displaystyle{ F}\) i \(\displaystyle{ G}\)? i dlaczego wynikiem drugiej całki jest ich suma?
\(\displaystyle{ \int \frac{ \partial \hat{u}}{ \partial \eta} \partial \eta=\int F(\xi) \partial \eta}\)
\(\displaystyle{ \hat{u}=F(\xi)+G(\eta)}\)??

[squared]

Moim zdaniem wynik jest inny.

Masz:

\(\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial \eta}\frac{ \partial\hat{u}(\eta,\xi) }{ \partial \eta }=0.}\)

Całkuję najpierw jednostronnie po \(\displaystyle{ \eta}\). Co istotne, \(\displaystyle{ \xi}\) jest w tym momencie stałą. Mam zatem:

\(\displaystyle{ \frac{ \partial\hat{u}(\eta,\xi) }{ \partial \eta} =F(\xi).}\)

I jest to prawda, bowiem rózniczkując obustronnie po \(\displaystyle{ \eta}\) mamy po prawej stronie zero, gdyż \(\displaystyle{ F(\xi)}\) nie zależmy od \(\displaystyle{ \eta}\) zatem pochodna po \(\displaystyle{ \eta}\) to zero.

I znów różniczkujemy po \(\displaystyle{ \eta}\).

\(\displaystyle{ \int \frac{ \partial\hat{u}(\eta,\xi) }{ \partial \eta} \ \mbox{d}\eta=\int F(\xi) \ \mbox{d}\eta.}\)

Znów \(\displaystyle{ F(\xi)}\) to stała, gdyż całkujemy po \(\displaystyle{ \eta}\).

\(\displaystyle{ \hat{u}(\eta,\xi) = F(\xi) \eta + G(\xi)}\)

Funkcja ta spełnia wejściowe równanie różniczkowe. Dwukrotnie różniczkując po \(\displaystyle{ \eta}\) otrzymujemy zero.

[Otwieracz]

Dziękuję.
Następnie mam:
\(\displaystyle{ u(x,y)=\hat{u}(y-x,x)}\)
\(\displaystyle{ u=F(y-x)+G(x)}\)
To rozwiązanie ogólne.
uwzględniając W.B., następnym krokiem jest policzenie pochodnej równania ogólnego, które ma postać
\(\displaystyle{ u=F(y-x)+G(x)}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial u}{ \partial y} =F(y-x)+F'(y-x)+G(x)=0}\) dlaczego? to jest następnie podstawione do W.B.

[squared]

Nie podstawiasz przypadkiem źle \(\displaystyle{ \eta, \xi}\)?

[Otwieracz]

Możliwe... Tak mam rozwiązane, ale od tego momentu nie wiem co z czego wynika. Wiem już natomiast, że to co napisałeś w poście wyżej, jest poprawnie. Jak powinno być poprawnie?

[squared]

Na pewno do 6 punktu masz dobrze, bo nie sprowadzałem?

[Otwieracz]

Tak