Witajcie,
Mam do rozwiązania taki przykład:
\(\displaystyle{ y'''+y''+y'+y=\sin 2x}\)
Skończyłem pierwszy etap, otrzymałem:
\(\displaystyle{ y=C_{1}e^{-x}+C_{2}e^{ix}+C_{3}e^{-ix}}\)
Dalej kompletnie nie wiem co zrobić, było to prawdopodobnie na nieobowiązkowych zajęciach na których mnie nie było. Na egzaminie oczywiście takie zadanie będzie. Jakby jakaś dobra dusza podrzuciła mi jaką metodą to zrobić i pokrótce wytłumaczyła to stawiam piwo.
Równanie różniczkowe trzeciego rzędu.
-
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 17 cze 2018, o 13:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Mińsk Mazowiecki
- Podziękował: 1 raz
Równanie różniczkowe trzeciego rzędu.
Ostatnio zmieniony 17 cze 2018, o 13:58 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol pochodnej używaj bez indeksu górnego. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Symbol pochodnej używaj bez indeksu górnego. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Równanie różniczkowe trzeciego rzędu.
Piwo piwu nierówne. Ja zamiast programowania czy języków obcych uczyłem się tej zafajdanej matematyki i teraz taki efekt, że mam w lodówce piwo za 2,50, ale za to potrafię się mądrzyć (kiepsko).
Myślę, że przyjemniej się liczy, jak masz to zapisane w postaci rzeczywistej, tj. rozwiązanie równania jednorodnego postaci
\(\displaystyle{ y_j=C_1 e^{-x}+C_2 cos x+C_3sin x}\)
(to nie są te same stałe \(\displaystyle{ C_2, C_3}\) co u Ciebie). A dochodzi się do tego dzięki zauważeniu, że
\(\displaystyle{ cos x=frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}, sin x=frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\)
Dalej można się posłużyć metodą przewidywań:
306635.htm
Przewidujemy rozwiązanie szczególne równania niejednego postaci
\(\displaystyle{ asin(2x)+bcos(2x)}\)
Wstawiamy to do równania
\(\displaystyle{ y'''+y''+y'+y=sin 2x}\):
i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ (-6a-3b)cos(2x)+ (6b-3a)sin(2x)=sin 2x}\)
a stąd bierze się układ równań:
\(\displaystyle{ egin{cases} -6a-3b=0 \ 6b-3a=1 end{cases}}\)
Stąd dostajemy
\(\displaystyle{ a=-frac{1}{15}, b=frac{2}{15}}\)
Czyli rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego wygląda tak:
\(\displaystyle{ y=C_1e^{-x}+C_2 sin x+C_3cos x-frac 1 {15}sin(2x)+frac{2}{15}cos(2x)}\)
Myślę, że przyjemniej się liczy, jak masz to zapisane w postaci rzeczywistej, tj. rozwiązanie równania jednorodnego postaci
\(\displaystyle{ y_j=C_1 e^{-x}+C_2 cos x+C_3sin x}\)
(to nie są te same stałe \(\displaystyle{ C_2, C_3}\) co u Ciebie). A dochodzi się do tego dzięki zauważeniu, że
\(\displaystyle{ cos x=frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}, sin x=frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\)
Dalej można się posłużyć metodą przewidywań:
306635.htm
Przewidujemy rozwiązanie szczególne równania niejednego postaci
\(\displaystyle{ asin(2x)+bcos(2x)}\)
Wstawiamy to do równania
\(\displaystyle{ y'''+y''+y'+y=sin 2x}\):
i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ (-6a-3b)cos(2x)+ (6b-3a)sin(2x)=sin 2x}\)
a stąd bierze się układ równań:
\(\displaystyle{ egin{cases} -6a-3b=0 \ 6b-3a=1 end{cases}}\)
Stąd dostajemy
\(\displaystyle{ a=-frac{1}{15}, b=frac{2}{15}}\)
Czyli rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego wygląda tak:
\(\displaystyle{ y=C_1e^{-x}+C_2 sin x+C_3cos x-frac 1 {15}sin(2x)+frac{2}{15}cos(2x)}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 17 cze 2018, o 13:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Mińsk Mazowiecki
- Podziękował: 1 raz
Re: Równanie różniczkowe trzeciego rzędu.
Dziękuję bardzo! Za takie rozpisanie i podlinkowanie przykładów nawet kraftowe piwo z maleńkiego browaru w odległych krainach Warmii i Mazur to mało!