Równanie różniczkowe liniowe pierwszego rzędu

[dron]

Proszę o sprawdzenie i odpowiedź na pytanie czy stała C może być poprzedzona znakiem ujemnym tak jak jest to wykonane poniżej.

\(\displaystyle{ y'-(x-\cos x)y=0}\) , przy warunku \(\displaystyle{ y(0)=1}\)
\(\displaystyle{ P(x)= -(x-\cos x)\\
P(x)= -x+\cos x\\
\int_{}^{}P(x)dx=\int_{}^{}(-x+\cos x)dx= - \frac{1}{2} \cdot x^2 + \sin x + C\\
-\int_{}^{}P(x)dx= \frac{1}{2} \cdot x^2 - \sin x - C\\
y=C \cdot e^{(-\int_{}^{}P(x)dx)}\\
y=C \cdot e^{( \frac{1}{2} \cdot x^2-\sin x)}\\
1=C \cdot e^{(\frac{1}{2} \cdot 0^2-\sin 0)}\\
C=1\\
y=1 \cdot e^{(\frac{1}{2} \cdot x^2-\sin x)}}\)

[kerajs]

\(\displaystyle{ P(x)= -x+\cos x\\
\int_{}^{}P(x)dx=\int_{}^{}(-x+\cos x)dx= - \frac{1}{2} \cdot x^2 + \sin x + C\\
-\int_{}^{}P(x)dx= \frac{1}{2} \cdot x^2 - \sin x - C\\
y=C \cdot e^{(-\int_{}^{}P(x)dx)}}\)

Raczej:
\(\displaystyle{ y=e ^{ \frac{1}{2} \cdot x^2 - \sin x - C} \\
1=e^{-C}\\
C=0}\)

[dron]

Dlaczego więc prowadzący wykonywał to w taki sposób?

\(\displaystyle{ y'-4x^3y=0}\), przy warunku \(\displaystyle{ y(0)=2}\)
\(\displaystyle{ P(x)=-4x^3\\
y=C \cdot e^{( \int_{}^{} 4x^3dx)} \\
y=C \cdot e^{x}^{4}\\

2= C \cdot e^{ x^{4} }\\
2=C\\
y=2 \cdot e^{x^4}}\)

[kerajs]

Sorry, niepotrzebnie poprawiałem. Tak naprawdę to oba rozwiązania są poprawne.


\(\displaystyle{ y=e^{ \frac{1}{2} \cdot x^2-\sin x-C}}\)

1)
moja wersja:
\(\displaystyle{ 1=e^{ \frac{1}{2} \cdot 0^2-\sin 0-C}\\
1=e ^{-C}\\
C=0}\)
stąd:
\(\displaystyle{ y=e^{ \frac{1}{2} \cdot x^2-\sin x}}\)

2)
Twoja wersja:
\(\displaystyle{ y= e^{( \frac{1}{2} \cdot x^2-\sin x)}e^{-C} \wedge K=e^{-C}\\
y= Ke^{( \frac{1}{2} \cdot x^2-\sin x)}\\
1=K \cdot e^{(\frac{1}{2} \cdot 0^2-\sin 0)}\\
K=1\\
y= e^{(\frac{1}{2} \cdot x^2-\sin x)}}\)