Sprawdź, czy jest metryką

[Unknown2000]

Cześć.
Rozważmy funkcje
\(\displaystyle{ d^n_2(i,j) = \min \{ |i - j|, n - |i - j| \}}\)

Gdzie \(\displaystyle{ n}\) jest ustalone (naturalne), a \(\displaystyle{ i}\) oraz \(\displaystyle{ j}\) są w przedziale od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ n}\). Warunki na metrykę (1) i (2) sprawdziłem - jest okej, niestety przy nierówności trójkąta wyrywam sobie włosy z głowy. Z góry dziękuje za pomoc.

[bartek118]

Nie trzeba sprawdzać nawet (1) ani (2), bo (0) nie jest spełnione. Tj. Nie jest prawdą, że \(\displaystyle{ d_2^n (i,j) \geq 0}\). Istotnie - wystarczy wybrać \(\displaystyle{ i=n+2}\) i \(\displaystyle{ j=1}\). Wtedy
\(\displaystyle{ |i-j| = n11}\)
oraz
\(\displaystyle{ n-|i-j| = n - (n+1) = -1,}\)
więc \(\displaystyle{ d_2^n (i,j) = -1}\).

[Unknown2000]

'i'nie może być równe 'n+2', ponieważ w założeniu jest, że i oraz j należy od 1 do n.

[bartek118]

'i'nie może być równe 'n+2', ponieważ w założeniu jest, że i oraz j należy od 1 do n.

Gdy pisałem odpowiedź, nie było podane na jakim zbiorze jest określona ta metryka. Jak mniemam, chodzi zatem o \(\displaystyle{ \{1, 2, \ldots, n\}}\). To działa w zasadzie jak okrąg. Gdy ułożysz te punkty w wierzchołki wielokąta foremnego o bokach równych \(\displaystyle{ 1}\), to odległość z \(\displaystyle{ i}\) do \(\displaystyle{ j}\) to po prostu najkrótsza odległość idąc po brzegu tego wielokąta -- widać geometrycznie, że warunki metryki są spełnione.

Jeśli jednak chcesz to zrobić formalnie, to bierzemy \(\displaystyle{ i,j,k \in \{1, \ldots, n \}}\). Wtedy musimy rozpatrzeć dwa przypadki.
1. Jeśli \(\displaystyle{ |i-j| \leq n - |i-j|}\). Wtedy \(\displaystyle{ d(i,j) = |i-j|}\)
2. Jeśli \(\displaystyle{ |i-j| > n - |i-j|}\) i wtedy \(\displaystyle{ d(i,j) = n-|i-j|}\).
Dalej, w każdym przypadku trzeba rozważyć, gdzie leży \(\displaystyle{ k}\) względem \(\displaystyle{ i}\) oraz \(\displaystyle{ j}\).