Suma szeregu potęgowego

[Gui]

Cześć! Mam problem z takim zadankiem:
Wyznacz promień i zbiór zbieżności szeregu i oblicz jego sumę w każdym punkcie wyznaczonego zbioru \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }\frac{(2n+3)x^{2n}}{5^n}}\) .
Problem mam z liczeniem funkcji, bo zbiór zbieżności wyszedł mi \(\displaystyle{ \left( -5;5\right)}\), ale nie wszystkich punktach tego zbioru mogłem liczyć zbieżność, bo miałem \(\displaystyle{ q=\frac{x}{ \sqrt{5}}}\) (do przekształcenia na sumę szeregu geometrycznego). Tu pasowałby mi przedział \(\displaystyle{ \left(- \sqrt{5}; \sqrt{5}\right)}\), żeby \(\displaystyle{ \left| q\right|<1}\) jeżeli by ktoś mógł wrzucić rozwiązanie, żebym mógł znaleźć błąd w swoim rozwiązaniu, bo liczyłem kilkukrotnie i za każdym razem wychodziło mi to samo. Z góry dziękuję za każdą pomoc.

[Janusz Tracz]

zbiór zbieżności wyszedł mi \(\displaystyle{ \left( -5;5\right)}\)

To źle.

ale nie wszystkich punktach tego zbioru mogłem liczyć zbieżność

W tym momencie powinna Ci się zapalić czerwona lampka. Bo skoro skoro już stwierdziłeś powyższe to jest to sprzeczne ze zbiorem zbieżności.

bo miałem \(\displaystyle{ q=\frac{x}{ \sqrt{5}}}\)(do przekształcenia na sumę szeregu geometrycznego)

Prawie ale formalnie jest źle. Bo to nie jest szereg geometryczny więc nie ma żadnego \(\displaystyle{ q}\). O przekształceniu nic nie piszesz więc trudno coś powiedzieć, domyślam się jedynie o co może Ci chodzić (coś w stylu zaburzania sumy ale tam metoda jest dość toporna do tego przykładu).

Tu pasowałby mi przedział \(\displaystyle{ \left(- \sqrt{5}; \sqrt{5}\right)}\), żeby \(\displaystyle{ \left| q\right|<1}\)

Odpowiedź ok ale ten szereg geometryczny mi tu nie pasuje.

Jeśli chodzi o rozwiązanie to metod jest wiele, ja uważam że skorzystanie z kryterium zbieżności Cauchy'ego jest najwygodniejsze choć to kwestia gustu. Więc pytanie brzmi dla jakich \(\displaystyle{ x}\) mamy

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{\left|\frac{(2n+3)x^{2n}}{5^n} \right|} = \frac{x^2}{5}<1}\)

co jest faktycznie równoważne z \(\displaystyle{ x\in\left(- \sqrt{5}, \sqrt{5}\right)}\). Należy jeszcze sprawdzić krańce tego zbioru ale szereg nie spełni tam warunku koniecznego nawet. Po określeniu zbioru zbieżności można poszukiwać sumy tego szeregu. Tu też masz kilka możliwości ja zaproponuję spostrzeżcie iż:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }t^n= \frac{1}{1-t}}\)

gdzie kładziemy \(\displaystyle{ t \rightarrow x^2}\) mnożymy przez \(\displaystyle{ x^3}\) co daje:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }x^{2n+3}= \frac{x^3}{1-x^2}}\)

różniczkujemy (korzystając z tw o różniczkowaniu szeregów potęgowych). A potem dzielimy przez \(\displaystyle{ x^2}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }(2n+3)x^{2n}= \frac{1}{x^2} \cdot \frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}x } \left( \frac{x^3}{1-x^2}\right)}\)

Policzenie tej pochodnej to techniczne rachunki które zostawiam jako ćwiczenie.