Witam. Mam problem z policzeniem całki wymiernej.
\(\displaystyle{ \int\frac{1}{2x- 3x^{2} }}\)
Chciałem załatwić to zadanko licząc deltę i rozbić na ułamki proste, jednak wynik który mi wyszedł był błędny. Sprawdziłem w WolframAlpha i tam podano mi metodę, by mianownik potraktować jako:
\(\displaystyle{ -3x^{2} +2x = x ^{2} +2ax + a ^{2}}\) ,
z czego wychodzi, że jest to równe \(\displaystyle{ -3\left( x ^{2} - \frac{2x}{3}\right),\ 2a = -\frac{2}{3}}\) , analogicznie \(\displaystyle{ a= - \frac{1}{3}}\) i następnie przez serię podstawień.
Dlaczego moja metoda jest błędna i skąd sie wzięło zastosowanie powyższej? Czy w takim razie powinienem ją stosować przy każdym przypadku kiedy w funkcji kwadratowej w mianowniku \(\displaystyle{ c=0}\) ?
Dziękuję za odpowiedzi.
Całka wymierna
Całka wymierna
Ostatnio zmieniony 14 cze 2018, o 00:39 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: kompozycja
Powód: Poprawa wiadomości: kompozycja
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Całka wymierna
Nie pokazujesz szczegółów obliczeniowych, zatem trudno powiedzieć, gdzie robisz błąd. Rozkład na ułamki proste to dobre podejście, ale nie wiem, po co Ci Delta?
\(\displaystyle{ 2x-3x^2=x(2x-3)}\)
Mamy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x(2x-3)} =-\frac 1 3\cdot \frac{2x-3-2\cdot x}{x(2x-3)} =\\
=-\frac{1}{3x}+\frac 2 3\cdot \frac{1}{2x-3}}\)
i to już łatwo scałkować, rozbijając na sumę całek.
\(\displaystyle{ 2x-3x^2=x(2x-3)}\)
Mamy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x(2x-3)} =-\frac 1 3\cdot \frac{2x-3-2\cdot x}{x(2x-3)} =\\
=-\frac{1}{3x}+\frac 2 3\cdot \frac{1}{2x-3}}\)
i to już łatwo scałkować, rozbijając na sumę całek.
-
- Użytkownik
- Posty: 4211
- Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków PL
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 758 razy
Całka wymierna
Błąd!Premislav pisze:\(\displaystyle{ 2x-3x^2=x({\red{2x-3}})}\)
Powinno być:
- \(\displaystyle{ 2x-3x^2=x(2-3x)}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{x(2-3x)} =\frac{1}{2}\cdot\frac{2-3x+3x}{x(2-3x)} =
\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x}+\frac {3}{2}\cdot\frac{1}{2-3x}}\)
@visht
To co napisałeś na podstawie sugestii WolframAlpha jest bez sensu, bo nie może być:
- \(\displaystyle{ 2a=\frac{2}{3}\ \wedge\ a^2=0}\)
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Re: Całka wymierna
No tak, przepraszam bardzo, aż mi głupio, że taką bzdurę napisałem.
Niestety często przestawiam znaki (częściej mi się to zdarza, gdy piszę coś odręcznie), być może to jakiś rodzaj dysleksji (nie badałem tego, w każdym razie w moim przypadku nie da się tego całkowicie wyeliminować – przynajmniej znanymi mi – ćwiczeniami koncentracji, ponieważ próbowałem przez 15 lat). Tak tutaj z \(\displaystyle{ 2-3x}\) zrobiło się \(\displaystyle{ 2x-3}\).
Niestety często przestawiam znaki (częściej mi się to zdarza, gdy piszę coś odręcznie), być może to jakiś rodzaj dysleksji (nie badałem tego, w każdym razie w moim przypadku nie da się tego całkowicie wyeliminować – przynajmniej znanymi mi – ćwiczeniami koncentracji, ponieważ próbowałem przez 15 lat). Tak tutaj z \(\displaystyle{ 2-3x}\) zrobiło się \(\displaystyle{ 2x-3}\).