Równania różniczkowe typu F(x,y',y'')

[kox944]

Witam. Czy ktoś mógłby rzucić jakąś podpowiedzią, jak rozwiązać równanie tego typu:

\(\displaystyle{ y''=-y'\tg x+\sin 2x}\)

Wiem, że wykonuje się podstawienie za \(\displaystyle{ y'}\) (w moim przypadku zazwyczaj używamy \(\displaystyle{ u}\)). Nie wiem w jaki sposób rozdzielić zmienne.

[kerajs]

\(\displaystyle{ y'=u \Rightarrow y''=u'\\
u'+\tg x \ u=\sin 2x}\)
A to jest równanie liniowe (najczęściej rozwiązywane przez uzmiennianie stałej).

[kox944]

Tamto udało się wyliczyć

Teraz mam takie równanie :

\(\displaystyle{ y''+2xy'=0}\)

Z warunkiem początkowym :
a) \(\displaystyle{ y=0}\) , \(\displaystyle{ y'=-1}\) gdy \(\displaystyle{ x=0}\)
b) \(\displaystyle{ y=0}\) , \(\displaystyle{ y'=0}\) gdy \(\displaystyle{ x =0}\)

Po podstawieniu \(\displaystyle{ y'=u}\) wychodzi \(\displaystyle{ u= e^{-x^2}C_{1}}\) tylko nie wiem co dalej z tym zrobić.

[Premislav]

No nic, całka nieoznaczona z \(\displaystyle{ e^{-x^2}}\) jest nieelementarna, można ją najwyżej sprowadzić do

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcja_b%C5%82%C4%99du

Możesz zastąpić całkę nieoznaczoną całką oznaczoną, tj.
\(\displaystyle{ y(x)-y(0)=C_1 \int_{0}^{x} e^{-t^2}\,\dd t}\), no a poza tym w obu przypadkach stałą \(\displaystyle{ C_1}\) jesteś w stanie wyznaczyć, wstawiając za \(\displaystyle{ y'(0)}\) i rozwiązując proste równanie.
Np. a) \(\displaystyle{ e^{-x^2}C_1=-1}\) dla \(\displaystyle{ x=0}\) daje Ci \(\displaystyle{ C_1=-1}\) (po prostu podstawiasz \(\displaystyle{ x=0}\) i wychodzi).

[kox944]

Dobra, mam to Dzięki !