Transformata Laplace'a

B0re · Post autor: **B0re** » 5 cze 2018, o 19:34

Cześć potrzebuję pomocy przy zadaniu z kolokwium, którego nie wiedziałem nawet jak ruszyć znam podstawowe pojęcia i wzory transformaty, ale nigdy nie spotkałem się z transformatą odwrotną tego typu
\(\displaystyle{ L^{-1} \left[ F(s) - \frac{1}{s}\right]^{2}}\)
A także sprawdzenia równania liniowego:
\(\displaystyle{ y'' - 5y' + 4y = e ^{3t}}\)
Z warunkami początkowymi \(\displaystyle{ y(0) = -1, y'(0) = -2}\)
Wynik wyszedł mi \(\displaystyle{ y = - \frac{1}{2} e ^{3t} - \frac{1}{6} e ^{t} - e ^{4t}}\)
Jeśli będą potrzebne moje obliczenia do powyższego równania to je zamieszczę
Z góry dziękuję za pomoc

Premislav · Post autor: **Premislav** » 5 cze 2018, o 20:13

Co do pierwszej rzeczy, zauważ, że dla \(\displaystyle{ s>0}\) (a nawet \(\displaystyle{ \mathrm{Re}(s)>0}\)) mamy
\(\displaystyle{ \frac{1}{s}= \int_{0}^{+\infty}e^{-ts}\,\dd t=\mathcal{L} \left\{ 1\right\}(s)}\)
(tutaj oznacza to funkcję stale równą \(\displaystyle{ 1}\)).
Czyli z liniowości całki \(\displaystyle{ F(s)-\frac 1 s=\mathcal{L}\left\{f-1 \right\}(s)}\).
To powinno pomóc.

Co do rozwiązania równania różniczkowego, zarys się zgadza, ale nie zgadzają się niektóre współczynniki, \(\displaystyle{ -\frac 1 2 e^{3t}}\) jest rozwiązaniem szczególnym równania niejednorodnego, więc ten fragment OK, ale dalej coś skopane.

B0re · Post autor: **B0re** » 5 cze 2018, o 20:40

Co do rozwiązania równania różniczkowego, zarys się zgadza, ale nie zgadzają się niektóre współczynniki, \(\displaystyle{ -\frac 1 2 e^{3t}}\) jest rozwiązaniem szczególnym równania niejednorodnego, więc ten fragment OK, ale dalej coś skopane.

Po wyznaczeniu równania \(\displaystyle{ Y(s)}\) wyszło mi równanie:
\(\displaystyle{ Y(s) = \frac{1}{(s-3)(s-4)(s-1)} - \frac{s}{(s-4)(s-1)} - \frac{3}{(s-4)(s-1)}}\)
1 część wyznaczyłem metodą rozkładu na ułamki proste:
\(\displaystyle{ - \frac{1}{2} \frac{1}{s-3} + \frac{1}{3} \frac{1}{s-4} + \frac{1}{6} \frac{1}{s-1}}\)
2 część wyznaczyłem tą samą metodą:
\(\displaystyle{ - \frac{8}{6} \frac{1}{s-1} - \frac{1}{3} \frac{1}{s-4}}\)
3 część metodą też metodą ułamków prostych (3 wyciągnięte przed nawias, współczynniki \(\displaystyle{ A}\) i B wyszły \(\displaystyle{ -\frac{1}{3}}\) i \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\), stąd brak współczynników przy ułamkach).
\(\displaystyle{ - \frac{1}{s-4} + \frac{1}{s-1}}\)
Końcowym zabiegiem było uporządkowanie poszczególnych transformat i tu już znalazłem błąd w rozwiązaniu powinno być: \(\displaystyle{ - \frac{1}{2} e ^{3t} - \frac{13}{6} e ^{t} + e^{4t}}\)

Premislav · Post autor: **Premislav** » 5 cze 2018, o 21:02

Obawiam się, że to dalej nie spełnia warunku \(\displaystyle{ y(0)=-1}\)…

Po nałożeniu transformaty Laplace'a dostałem:
\(\displaystyle{ s^2Y(s)+s+2-5(sY(s)+1)+4Y(s)= \frac{1}{s-3}\\ (s^2-5s+4)Y(s)=3-s+\frac{1}{s-3}\\Y(s)= \frac{3-s}{(s-1)(s-4)}+ \frac{1}{(s-3)(s-1)(s-4)}}\)
czyli jednym minusem się różni od Twojego, pewnie to ten błąd.

Jak coś, to zawsze możesz sprawdzić obliczenia na wolframalpha.com, bo dla mnie to nie jest za ciekawe.

B0re · Post autor: **B0re** » 5 cze 2018, o 21:08

Premislav pisze: czyli jednym minusem się różni od Twojego, pewnie to ten błąd.

Jak coś, to zawsze możesz sprawdzić obliczenia na wolframalpha.com, bo dla mnie to nie jest za ciekawe.

Minus pomyliłem przy przepisywaniu do postu fakt ale w obliczeniach widnieje znak \(\displaystyle{ +}\). Rozumiem, że nieciekawe niestety nasz profesor uwielbia takie zadania na kolokwiach. W wolframie wychodzi wynik z takimi samymi potęgami jedynie zamiast warunków początkowych dodaje stałe \(\displaystyle{ c_1}\) i \(\displaystyle{ c_2}\), ale wynik powinien się zgadzać po tej małej korekcie w poście powyżej. Dziękuję za pomoc.

iyhun · Post autor: **iyhun** » 7 cze 2018, o 21:29

Pomógłby ktoś bardziej to wyjaśnić?
\(\displaystyle{ L^{-1} \left[ F(s) - \frac{1}{s}\right]^{2}}\)
To jest akurat zrozumiałe:
\(\displaystyle{ F(s)-\frac 1 s=\mathcal{L}\left\{f-1 \right\}(s)}\)
ale czy ta potęga na to pozwala? Czy po prostu komplikuję i
\(\displaystyle{ L^{-1} \left[ F(s) - \frac{1}{s}\right]^{2} = \mathcal{L}(\left\{f-1 \right\})^2(s)}\)

B0re · Post autor: **B0re** » 7 cze 2018, o 21:39

iyhun pisze:Pomógłby ktoś bardziej to wyjaśnić?
\(\displaystyle{ L^{-1} \left[ F(s) - \frac{1}{s}\right]^{2}}\)
To jest akurat zrozumiałe:
\(\displaystyle{ F(s)-\frac 1 s=\mathcal{L}\left\{f-1 \right\}(s)}\)
ale czy ta potęga na to pozwala? Czy po prostu komplikuję i
\(\displaystyle{ L^{-1} \left[ F(s) - \frac{1}{s}\right]^{2} = \mathcal{L}(\left\{f-1 \right\})^2(s)}\)

Z tego co się dowiedziałem na konsultacjach u profesora to robisz transformatę odwrotną w \(\displaystyle{ ()}\) i podnosisz do potęgi, czyli po prostu przemnażasz 2 te same nawiasy, tam gdzie nie jesteś w stanie od razu wyprowadzić transformaty, czyli w przypadku \(\displaystyle{ f(t)f(t)}\) stosujesz twierdzenie Borela o splocie, a \(\displaystyle{ f(t)}\) i \(\displaystyle{ 1}\) to już gotowa transformata odwrotna.

iyhun · Post autor: **iyhun** » 7 cze 2018, o 22:11

\(\displaystyle{ \frac{2}{s}f(t)}\) Chyba oznaczenia się nie zgadzają. \(\displaystyle{ s}\) i \(\displaystyle{ t}\) razem?
\(\displaystyle{ L^{-1} \left[ F(s) - \frac{1}{s}\right]^{2}=\mathcal{L}(\left\{f(t)-1 \right\})^2(s) =\mathcal{L}\{f(t)\cdot f(t) - 2f(t) + 1 \}(s)}\)
I to jest ta otrzymana transformata odwrotna, więcej z tym się nie da nic zrobić? Borel dla \(\displaystyle{ f(t)\cdot f(t)}\) zmieni zapis, ale co on da. Mógłbyś podać końcowy wynik? To by wiele zmieniło, oczywiście prawidłowy.

B0re · Post autor: **B0re** » 7 cze 2018, o 22:17

iyhun pisze:\(\displaystyle{ \frac{2}{s}f(t)}\) Chyba oznaczenia się nie zgadzają. \(\displaystyle{ s}\) i \(\displaystyle{ t}\) razem?
\(\displaystyle{ L^{-1} \left[ F(s) - \frac{1}{s}\right]{2}=\mathcal{L}(\left\{f(t)-1 \right\})^2(s) =\mathcal{L}\{f(t)\cdot f(t) - 2f(t) + 1 \}(s)}\)
I to jest ta otrzymana transformata odwrotna, więcej z tym się nie da nic zrobić? Borel dla \(\displaystyle{ f(t)\cdot f(t)}\) zmieni zapis, ale co on da. Mógłbyś podać końcowy wynik? To by wiele zmieniło, oczywiście prawidłowy.

Faktycznie trochę się zamieszałem przy wypisywaniu rozwiązania bo pracuję aktualnie przy czym innym, ale zamysł był jak najbardziej poprawny. Wyniku nie jestem pewien, bo utknąłem w całce splotu Borela, jako że \(\displaystyle{ f(t)}\) nie ma podanego wzoru, a nie pamiętam już jak się rozwiązywało całkę w której jest same \(\displaystyle{ f(t)}\), może ktoś jeszcze się wypowie w tym temacie. Poprzedni post już poprawiam dla potomnych. Powodzenia!

iyhun · Post autor: **iyhun** » 7 cze 2018, o 22:23

No właśnie w tym rzecz, że nie widzę sensu robić splotu bo nic nie uzyskamy. Dodatkowo zadanie polega na odwróceniu transformaty \(\displaystyle{ L^{-1} \left[ F(s) - \frac{1}{s}\right]^{2}}\) czego wynikiem jest \(\displaystyle{ \mathcal{L}\{f(t)\cdot f(t) - 2f(t) + 1 \}(s)}\). No nic, poczekam może ktoś potwierdzi.

Premislav · Post autor: **Premislav** » 7 cze 2018, o 22:38

W sposób oczywisty policzenie tej całki definiującej splot nie jest możliwe bez znajomości konkretnej funkcji \(\displaystyle{ f}\). Ja bym zapisał wynik po prostu w postaci
\(\displaystyle{ (f-1)*(f-1)}\) gdzie \(\displaystyle{ *}\) oznacza splot.

W ogóle zepsuliście mi tym wieczór, mimo że do wątku zajrzałem tylko na moment, bo przypomniało mi się, jak byłem męczony jakimiś chorymi potęgami splotowymi na Rachunku Prawdopodobieństwa 2.

iyhun · Post autor: **iyhun** » 7 cze 2018, o 22:50

Pan Premislav jak zwykle niezawodny Dziękuję za pomoc