1.Równania różniczkowe liniowe drugiego rzędu z warunkiem początkowym \(\displaystyle{ y(0) = 1 , y'(0)=0}\).
Wyznaczyć rozwiązanie równania, spełniające ten warunek.
\(\displaystyle{ y''+2y'-8y=2e^{-2x} - e^{-x}}\)
2. Funkcje \(\displaystyle{ y_1 =x}\) i \(\displaystyle{ y_2 = x \ln x}\) tworzą układem fundamentalnym równania jednorodnego \(\displaystyle{ x^{2}y'' -xy' +y = 0}\) w przedziale \(\displaystyle{ ( 0,+ \infty )}\).
Wyznaczyć ogólne rozwiązanie niejednorodnego \(\displaystyle{ x^{2}y'' -xy' +y = 4x \ln x}\).
Próbowałam znaleźć pomoc, jednak nie jestem najlepsza w tej dziedzinie matematyki. Nie potrafie rozwiązać tych zadań w oparciu o podobne zadania tego typu, większość osób tłumaczy to w taki sposób, jakbym robiła je od urodzenia. Kolokwialnie rzecz ujmując, chciałabym zapytać o pomoc w rozwiązaniu zadań " Jak krowie na rowie". Serdecznie dziękuje, pozdrawiam.
Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu.
-
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 5 cze 2018, o 17:51
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: kraków
Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu.
Ostatnio zmieniony 5 cze 2018, o 23:05 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu.
Zadanie 1
\(\displaystyle{ y'' +2y' -8y = 2e^{-2x} - e^{-x}, \ \ y(0) = 1, \ \ y'(0) = 0}\) (C)
Rozwiązanie ogólne \(\displaystyle{ y_{o}}\) równania jednorodnego
\(\displaystyle{ y'' +2y' - 8y = 0.}\)
Równanie charakterystyczne
\(\displaystyle{ \lambda^2 +2\lambda - 8 = 0}\)
\(\displaystyle{ \lambda_{1}= -4, \ \ \lambda_{2}= 2.}\)
\(\displaystyle{ y_{o} = C_{1}e^{-4x} + C_{2}e^{2x}.}\)
Rozwiązanie szczególne\(\displaystyle{ y_{s}}\) równania niejednorodnego będzie sumą rozwiązań szczególnych równań:
\(\displaystyle{ a)\ y'' +2y' +8y = 2e^{-2x}, \ \ b)\ y'' +2y' +8y = -e^{-x}}\)
Z twierdzenia o rozwiązaniach równania liniowego drugiego rzędu - rozwiązanie szczególne równania a) jest postaci \(\displaystyle{ a e^{-2x}}\) równania b) \(\displaystyle{ be^{-x}}\)
Muszą więc zachodzić równości:
\(\displaystyle{ 4ae^{-2x} - 4ae^{-2x} +8ae^{-2x} = 2e^{-2x}, \ \ be^{-x}-2be^{-x}+8be^{-x}= -e^{-x}.}\)
stąd
\(\displaystyle{ 8a = 2e^{-2x}, \ \ 7be^{-x} = -e^{-x},}\)
\(\displaystyle{ a = \frac{1}{4}, \ \ b=- \frac{1}{7}.}\)
Rozwiązania szczególne równania \(\displaystyle{ y_{s} = \frac{1}{4}e^{-2x} - \frac{1}{7}e^{-x}.}\)
Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego:
\(\displaystyle{ y = y_{o} + y_{s} = C_{1}e^{-4x}+C_{2}e^{2x} + \frac{1}{4}e^{-2x} -\frac{1}{7}e^{-x}}\) (1)
Uwzględniamy warunki początkowe :
\(\displaystyle{ \begin{cases} C_{1}+ C_{2}+ \frac{1}{4}-\frac{1}{7}= 1\\ -4C_{1}+2C_{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{7} = 0 \end{cases}}\)
Rozwiązując ten układ równań, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ C_{1}= \frac{20}{84}, \ \ C_{2} = \frac{55}{84}}\) (proszę sprawdzić).
Rozwiązaniem problemu Cauchy (C) jest funkcja
\(\displaystyle{ y_{C} = \frac{20}{84}e^{-4x} +\frac{55}{84}e^{2x}+\frac{1}{4}e^{-2x} -\frac{1}{7}e^{-x}.}\)
\(\displaystyle{ y'' +2y' -8y = 2e^{-2x} - e^{-x}, \ \ y(0) = 1, \ \ y'(0) = 0}\) (C)
Rozwiązanie ogólne \(\displaystyle{ y_{o}}\) równania jednorodnego
\(\displaystyle{ y'' +2y' - 8y = 0.}\)
Równanie charakterystyczne
\(\displaystyle{ \lambda^2 +2\lambda - 8 = 0}\)
\(\displaystyle{ \lambda_{1}= -4, \ \ \lambda_{2}= 2.}\)
\(\displaystyle{ y_{o} = C_{1}e^{-4x} + C_{2}e^{2x}.}\)
Rozwiązanie szczególne\(\displaystyle{ y_{s}}\) równania niejednorodnego będzie sumą rozwiązań szczególnych równań:
\(\displaystyle{ a)\ y'' +2y' +8y = 2e^{-2x}, \ \ b)\ y'' +2y' +8y = -e^{-x}}\)
Z twierdzenia o rozwiązaniach równania liniowego drugiego rzędu - rozwiązanie szczególne równania a) jest postaci \(\displaystyle{ a e^{-2x}}\) równania b) \(\displaystyle{ be^{-x}}\)
Muszą więc zachodzić równości:
\(\displaystyle{ 4ae^{-2x} - 4ae^{-2x} +8ae^{-2x} = 2e^{-2x}, \ \ be^{-x}-2be^{-x}+8be^{-x}= -e^{-x}.}\)
stąd
\(\displaystyle{ 8a = 2e^{-2x}, \ \ 7be^{-x} = -e^{-x},}\)
\(\displaystyle{ a = \frac{1}{4}, \ \ b=- \frac{1}{7}.}\)
Rozwiązania szczególne równania \(\displaystyle{ y_{s} = \frac{1}{4}e^{-2x} - \frac{1}{7}e^{-x}.}\)
Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego:
\(\displaystyle{ y = y_{o} + y_{s} = C_{1}e^{-4x}+C_{2}e^{2x} + \frac{1}{4}e^{-2x} -\frac{1}{7}e^{-x}}\) (1)
Uwzględniamy warunki początkowe :
\(\displaystyle{ \begin{cases} C_{1}+ C_{2}+ \frac{1}{4}-\frac{1}{7}= 1\\ -4C_{1}+2C_{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{7} = 0 \end{cases}}\)
Rozwiązując ten układ równań, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ C_{1}= \frac{20}{84}, \ \ C_{2} = \frac{55}{84}}\) (proszę sprawdzić).
Rozwiązaniem problemu Cauchy (C) jest funkcja
\(\displaystyle{ y_{C} = \frac{20}{84}e^{-4x} +\frac{55}{84}e^{2x}+\frac{1}{4}e^{-2x} -\frac{1}{7}e^{-x}.}\)
Ostatnio zmieniony 5 cze 2018, o 23:07 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.