Rozwiąż równanie różniczkowe

[r3vis3d]

Czy mógłby mi ktoś pomóc rozwiązać to równanie różniczkowe?
\(\displaystyle{ y' - \frac{2y}{x+1} = (x+1) ^{3};
y(0) = \frac{1}{2}}\)
Wiem, że trzeba wyzerować prawą stronę i wychodzi:
\(\displaystyle{ y = 2x + c_{1}}\)
ale co potem? :/

[Belf]

\(\displaystyle{ y=C \cdot e^{ \int \frac{2}{x+1}dx} = C \cdot e^{2\ln \left( x+1 \right) } = C \cdot e^{\ln \left( x+1 \right) ^2} = C \cdot \left( x+1 \right) ^2}\)
i teraz uzmiennij stałą.

-- 5 cze 2018, o 11:53 --

A jeśli nie znasz tego wzoru, to:

\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x }= \frac{2}{x+1} \\
\frac{ \mbox{d}y }{2y}= \frac{ \mbox{d}x }{x+1} \\
\ln y=2\ln \left( x+1 \right) + C_1 \\
\ln y=\ln \left( x+1 \right) ^2 + C_1\\
y=C \cdot \left( x+1 \right) ^2}\)

Ostateczny wynik: \(\displaystyle{ y= \left( \frac{1}{2}x^2+x+ \frac{1}{2} \right) \cdot \left( x+1 \right) ^2}\)

[r3vis3d]

A w jaki sposób znalazłeś
\(\displaystyle{ y= \left( \frac{1}{2}x^2+x+ \frac{1}{2} \right) \cdot \left( x+1 \right) ^2}\)
\(\displaystyle{ y = C \cdot \left( x+1 \right) ^2}\)
Skoro:
\(\displaystyle{ y' = 2c\left(x+1\right) + c'\left(x+1\right) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ 2c\left(x+1\right) + c'\left(x+1\right) ^{2} - \frac{2C \cdot \left( x+1 \right) ^2}{x+1} = \left(x+1 \right) ^{3}}\)
\(\displaystyle{ c' = \left( x+1\right) ^{2}}\)
PS. tak nie ogarniam tego typu równań.

[Benny01]

\(\displaystyle{ c'=x+1}\)
Całkując to równanie dostajemy, że
\(\displaystyle{ c= \frac{x^2}{2}+x+K}\)
\(\displaystyle{ y=\left( \frac{x^2}{2}+x+K\right) \cdot \left( x+1\right)^2}\)
Podstawiając warunek początkowy dostajemy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}=K}\)
Ostatecznie:
\(\displaystyle{ y=\left( \frac{x^2}{2}+x+\frac{1}{2} \right) \cdot \left( x+1\right)^2}\)