Rzut ukośny w jednorodnym polu grawitacyjnym

[michuuux3]

Cześć,

Chciałbym poprosić Was o pomoc w rozwiązaniu poniższego zagadnienia, gdyż ja sam nie potrafię sobie z nim poradzić.

Wyznacz zależność położenia prędkości od czasu w rzucie ukośnym w jednorodnym polu grawitacyjnym, uwzględniając siłę oporu powietrza w postaci:
\(\displaystyle{ \vec{F}=k|\vec{v}-w|(\vec{v}+\vec{w})}\), gdzie \(\displaystyle{ \vec{v}}\) jest wektorem prędkości ciała, a \(\displaystyle{ \vec{w}}\) jest stałym wektorem prędkości wiatru.
Zagadnienie rozwiąż w trójwymiarze.
Mam też wskazówkę:
Początkowo pomiń siłę oporu, następnie dodaj siłę oporu nieruchomego powietrza (bez wiatru), na końcu uwzględnij wiatr.

Jedynie co wiem, to że trzeba skorzystać z równać różniczkowych.
Byłbym wdzięczny za pomoc.
Z góry dziękuję.

[janusz47]

Uwzględniamy układ współrzędnych prostokątnych \(\displaystyle{ 0xz.}\)

Wektorowe równanie różniczkowe ruchu:

\(\displaystyle{ m\cdot \frac{d\vec{v}}{dt} = m\vec{g} -k|\vec{v} -\vec{w}|(\vec{v}+\vec{w}),\ \ k>0}\)(1)

\(\displaystyle{ \vec{v} = [ v_{x}, 0, v_{z}], \ \ \vec{w} = [ c, 0,0 ], \ \ \vec{g} = [0, 0, -g ]}\) (2)

\(\displaystyle{ \frac{d\vec{v}}{dt} = \vec{g} - k|\vec{v} -\vec{w}|\frac{(\vec{v}+\vec{w})}{m},\ \ k>0}\) (3)

Proszę podstawić (2) do (3) i rozpisać równanie wektorowe (1) na trzy równania różniczkowe - skalarne we współrzędnych.

Scałkować każde z równań skalarnych, przyjmując:

\(\displaystyle{ v_{x0} = v_{0}\cos(\theta), \ \ v_{z0}= v_{0}\sin(\theta).}\)