Podstawienie Eulera w całce

[bulbulator]

W zadaniu potrzebuję obliczyć całkę nieoznaczoną \(\displaystyle{ \int_{}^{} x^2 \sqrt{9-x^2} dx}\). Wygląda mi to na całkę w której mogę użyć podstawienia Eulera dla a<0 czyli \(\displaystyle{ \sqrt{ax^2+bx+c} = t(x- x_{1})}\) ale nie wiem jak to zrobić za bardzo.

[Premislav]

\(\displaystyle{ \int_{}^{} x^2 \sqrt{9-x^2} dx=- \int_{}^{}(9-x^2-9)\sqrt{9-x^2}\,\dd x=-\int_{}^{}(9-x^2)^{\frac 3 2}\,\dd x+9 \int_{}^{} \sqrt{9-x^2}\,\dd x}\)
„Policzmy" teraz przez części tę całkę:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} (9-x^2)^{\frac 3 2}\,\dd x=x(9-x^2)^{\frac 3 2}+\int_{}^{} 3x^2\sqrt{9-x^2}}\)
a zatem jeśli oznaczmy
\(\displaystyle{ I=\int_{}^{} x^2 \sqrt{9-x^2} dx}\), to otrzymaliśmy
\(\displaystyle{ I=-x(9-x^2)^{\frac 3 2}-3I+9 \int_{}^{} \sqrt{9-x^2}\,\dd x}\)
a stąd
\(\displaystyle{ I=-\frac x 4 (9-x^2)^{\frac 3 2}+\frac 9 4 \int_{}^{} \sqrt{9-x^2}\,\dd x}\)
a tę ostatnią całkę łatwo się liczy przez części:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \sqrt{9-x^2}\,\dd x= \int_{}^{} \frac{9-x^2}{\sqrt{9-x^2}} \,\dd x=\\=3\arcsin\left( \frac x 3\right)+\int_{}^{}x\left( \sqrt{9-x^2}\right)' \,\dd x=\\=3\arcsin\left( \frac x 3\right)+x\sqrt{9-x^2}- \int_{}^{} \sqrt{9-x^2}\,\dd x}\)
czyli jeśli \(\displaystyle{ J=\int_{}^{} \sqrt{9-x^2}\,\dd x}\), to z dokładnością do stałej mamy
\(\displaystyle{ J=3\arcsin\left( \frac x 3\right)+x\sqrt{9-x^2}- J}\), czyli
\(\displaystyle{ J=\frac 3 2\arcsin\left( \frac x 3\right)+\frac x 2\sqrt{9-x^2}+C}\)
oraz ostatecznie
\(\displaystyle{ I=-\frac x 4 (9-x^2)^{\frac 3 2}+\frac 9 4 \int_{}^{} \sqrt{9-x^2}\,\dd x=\\=-\frac x 4 (9-x^2)^{\frac 3 2}+\frac{27}{8}\arcsin\left( \frac x 3\right) +\frac 9 8 x\sqrt{9-x^2}+C}\)-- 3 cze 2018, o 19:11 --Mogłem się pomylić w jakichś rachunkach typu \(\displaystyle{ \frac 3 2\cdot 3}\), ale idea może być właśnie taka.

[Mariusz M]

Po podstawieniu Eulera dostaniemy następującą całkę

\(\displaystyle{ \int_{}^{} x^2 \sqrt{9-x^2} dx\\
\sqrt{9-x^2}=\left( 3-x\right)t\\
\left( 3-x\right)\left( 3+x\right)=\left( 3-x\right)^2t^2\\
3+x=\left( 3-x\right)t^2\\
3+x = 3t^2-xt^2\\
xt^2+x=3t^2-3\\
x\left( t^2+1\right) = 3t^2-3\\
x=\frac{3t^2-3}{t^2+1}\\
\left( 3-x\right)t=\frac{\left( \left( 3t^2+3\right)-\left(3t^2-3 \right) \right) t }{t^2+1} \\
\left( 3-x\right)t=\frac{6t}{t^2+1}\\
\mbox{d}x =\frac{6t\left( t^2+1\right)-2t\left( 3t^2-3\right) }{\left( t^2+1\right)^2 } \mbox{d}t\\
\mbox{d}x =\frac{12t }{\left( t^2+1\right)^2 } \mbox{d}t\\
\int{ \frac{9\left( t^2-1\right)^2 }{\left( t^2+1\right)^2 } \cdot \frac{6t}{t^2+1}\frac{12t }{\left( t^2+1\right)^2 } \mbox{d}t }\\
648\int{\frac{t^2\left( t^2-1\right)^2 }{\left( t^2+1\right)^{5} } \mbox{d}t}}\)

Aby policzyć całkę którą otrzymaliśmy można zastosować wzór Ostrogradskiego
albo wzór redukcyjny

[bulbulator]

Bardzo fajny pomysł z tym rozpisaniem na samym początku, @Premislav, nie myślałem żeby tak robić wcześniej, ale nie bardzo rozumiem w jaki dokładnie sposób obliczyłeś przez części całkę \(\displaystyle{ \sqrt{9-x^2}dx}\) . Czy mógłbyś to bardziej nakreślić bo nie wychodzi mi tak jak tobie.

[Mariusz M]

Do pierwszego całkowania przez części wziął

\(\displaystyle{ \mbox{d}u = \mbox{d}x \qquad v=\left( 9-x^2\right)^{ \frac{3}{2} }}\)


ale przez części można całkować też w ten sposób


\(\displaystyle{ \int_{}^{} x^2 \sqrt{9-x^2} dx=\frac{x^3}{3}\sqrt{9-x^2}-\frac{1}{3}\int{\frac{-x^4}{ \sqrt{9-x^2} } \mbox{d}x }\\
\int_{}^{} x^2 \sqrt{9-x^2} dx=\frac{x^3}{3}\sqrt{9-x^2}-\frac{1}{3}\int{\frac{9x^2-x^4-9x^2}{ \sqrt{9-x^2} } \mbox{d}x }\\
\int_{}^{} x^2 \sqrt{9-x^2} dx=\frac{x^3}{3}\sqrt{9-x^2}-\frac{1}{3}\int_{}^{} x^2 \sqrt{9-x^2} dx-\int{\frac{27-3x^2-27}{\sqrt{9-x^2}} \mbox{d}x }\\
\frac{4}{3}\int_{}^{} x^2 \sqrt{9-x^2} dx=\frac{x^3}{3}\sqrt{9-x^2}-3 \int_{}^{} { \sqrt{9-x^2} \mbox{d}x }+27\int{ \frac{ \mbox{d}x }{\sqrt{9-x^2}} }\\
\int_{}^{} x^2 \sqrt{9-x^2} dx=\frac{1}{4}x^3 \sqrt{9-x^2}-\frac{9}{4}\int{ \sqrt{9-x^2} \mbox{d}x } +\frac{81}{4}\int{ \frac{ \mbox{d}x }{ \sqrt{9-x^2} } }\\
\int_{}^{} \sqrt{9-x^2} \mbox{d}x =x\sqrt{9-x^2}- \int_{}^{} {\frac{-x^2}{ \sqrt{9-x^2} } \mbox{d}x }\\
\int_{}^{} \sqrt{9-x^2} \mbox{d}x =x\sqrt{9-x^2}- \int_{}^{} {\frac{9-x^2-9}{ \sqrt{9-x^2} } \mbox{d}x }\\
\int_{}^{} \sqrt{9-x^2} \mbox{d}x =x\sqrt{9-x^2}- \int_{}^{} \sqrt{9-x^2} \mbox{d}x+\int{ \frac{9}{ \sqrt{9-x^2} } \mbox{d}x }\\
2\int_{}^{} \sqrt{9-x^2} \mbox{d}x =x\sqrt{9-x^2}+9 \int_{}^{} {\frac{ \mbox{d}x }{ \sqrt{9-x^2} }}\\
\int_{}^{} \sqrt{9-x^2} \mbox{d}x = \frac{1}{2}x\sqrt{9-x^2}+\frac{9}{2}\int_{}^{} {\frac{ \mbox{d}x }{ \sqrt{9-x^2} }}\\
\int_{}^{} x^2 \sqrt{9-x^2} dx=\frac{1}{4}x^3 \sqrt{9-x^2}-\frac{9}{4}\left(\frac{1}{2}x\sqrt{9-x^2}+\frac{9}{2}\int_{}^{} {\frac{ \mbox{d}x }{ \sqrt{9-x^2} }} \right) +\frac{81}{4}\int{ \frac{ \mbox{d}x }{ \sqrt{9-x^2} } }\\
\int_{}^{} x^2 \sqrt{9-x^2} dx=\frac{1}{8}\left( 2x^3-9x\right) \sqrt{9-x^2} +\frac{81}{8}\int{ \frac{ \mbox{d}x }{ \sqrt{9-x^2} } }\\
\frac{81}{8}\int{ \frac{ \mbox{d}x }{ \sqrt{9-x^2} } }\\
x=3t\\
\mbox{d}x =3 \mbox{d}t\\
\frac{81}{8} \cdot 3 \int{ \frac{ \mbox{d}t}{ \sqrt{9-9t^2} } }\\
\frac{81}{8}\int{ \frac{ \mbox{d}t}{ \sqrt{1-t^2} } }\\
\frac{81}{8}\int{ \frac{ \mbox{d}x }{ \sqrt{9-x^2} } }=\frac{81}{8}\arcsin{\left( \frac{x}{3} \right) }\\
\int_{}^{} x^2 \sqrt{9-x^2} dx=\frac{1}{8}\left( 2x^3-9x\right) \sqrt{9-x^2} +\frac{81}{8}\arcsin{\left( \frac{x}{3} \right) }+C\\}\)