Rozwiąż równania

[verges]

1. \(\displaystyle{ \log _{2x}(4x-1)=2}\)
2. \(\displaystyle{ 2 ^{x+3}-5 \cdot 2 ^{x-2}=13,5}\)
Jakby ktoś mógł mi to wytłumaczyć bo w ogóle tego nie rozumiem.

[a4karo]

1. Użyj definicji logarytmu (ale najpierw przyjrzyj się dziedzinie wyrażenia)

2. \(\displaystyle{ t=2^x}\) załatwia sprawę

[verges]

Nadal nie ogarniam

[Jan Kraszewski]

Czego konkretnie nie ogarniasz? Znasz definicję logarytmu?

JK

[verges]

Czego konkretnie nie ogarniasz? Znasz definicję logarytmu?

JK

Znam, 1 udało mi się już ogarnąć ale tego drugiego to nie potrafię wprowadziłem pomocniczą t i zaciąłem się na \(\displaystyle{ t ^{3} - 5 \cdot t ^{-2}=13,5}\)

[Jan Kraszewski]

Znam, 1 udało mi się już ogarnąć

A pamiętałeś o dziedzinie?

ale tego drugiego to nie potrafię wprowadziłem pomocniczą t i zaciąłem się na \(\displaystyle{ t ^{3} - 5 \cdot t ^{-2}=13,5}\)

Bo źle zrobiłeś podstawienie.

\(\displaystyle{ 2 ^{x+3}-5 \cdot 2 ^{x-2}=2^3\cdot 2^x-5 \cdot 2^{-2} \cdot 2 ^x=8\cdot 2^x-\frac{5}{4} \cdot 2 ^x=\frac{27}{4}\cdot 2^x}\)

JK

[verges]

A pamiętałeś o dziedzinie?

Tak, dziedzina jaka mi wyszła to\(\displaystyle{ x \in \left( -\infty ; \frac{1}{4} \right)}\), a wynik to \(\displaystyle{ x _{1}=-2\sqrt{2}, x _{2}=2\sqrt{2}}\) z czego do dziedziny należy tylko \(\displaystyle{ -2\sqrt{2}}\)

Bo źle zrobiłeś podstawienie.

\(\displaystyle{ 2 ^{x+3}-5 \cdot 2 ^{x-2}=2^3\cdot 2^x-5 \cdot 2^{-2} \cdot 2 ^x=8\cdot 2^x-\frac{5}{4} \cdot 2 ^x=\frac{27}{4}\cdot 2^x}\)

Wyszło mi, że \(\displaystyle{ t=2}\), z czego \(\displaystyle{ x=1}\).

[Jan Kraszewski]

Tak, dziedzina jaka mi wyszła to\(\displaystyle{ x \in \left( -\infty ; \frac{1}{4} \right)}\),

Źle, zupełnie. Dziedzina to \(\displaystyle{ \left( \frac14,\frac12\right)\cup\left( \frac12,+\infty\right)}\). Popełniłeś zatem dwa błędy: pomyliłeś znak przy wyznaczaniu dziedziny argumentu i zupełnie zapomniałeś o dziedzinie podstawy.

a wynik to \(\displaystyle{ x _{1}=-2\sqrt{2}, x _{2}=2\sqrt{2}}\) z czego do dziedziny należy tylko \(\displaystyle{ -2\sqrt{2}}\)

No i kolejny błąd - równanie też źle rozwiązałeś. Napisz może swoje rachunki, to pokażemy Ci, gdzie się mylisz.

Wyszło mi, że \(\displaystyle{ t=2}\), z czego \(\displaystyle{ x=1}\).

To jest dobrze, choć po przekształceniach, które Ci zrobiłem, podstawienie było raczej zbędne...

JK

[verges]

\(\displaystyle{ D: 4x>1\\ x>\frac{1}{4}\\ D= x \in \left( - \infty ; \frac{1}{4} \right)}\)

\(\displaystyle{ 2x ^{2} = 4x-1 \\ 2x ^{2} -4x+1=0 \\ \Delta: 16-8=8 \\ x _{1}= \frac{4- 2\sqrt{2} }{4} = - 2\sqrt{2} \\x_{2}= \frac{4+ 2\sqrt{2} }{4} = 2\sqrt{2}}\)

[Jan Kraszewski]

No tak...

\(\displaystyle{ D: 4x>1\\ x>\frac{1}{4}\\ D= x \in \left( - \infty ; \frac{1}{4} \right)}\)

Naprawdę uważasz, że liczby większe od \(\displaystyle{ \frac14}\) należą do zbioru \(\displaystyle{ \left( - \infty ; \frac{1}{4} \right)}\) ? Np. \(\displaystyle{ 1}\) tam należy?

Poza tym, tak jak napisałem, to za mało. Brakuje założeń dotyczących podstawy logarytmu, czyli \(\displaystyle{ 2x>0}\) i \(\displaystyle{ 2x\ne 1}\).

\(\displaystyle{ 2x ^{2} = 4x-1}\)

A tu błąd masz na samym początku. Powinno być

\(\displaystyle{ \red (\black 2x \red )\black^2=4x-1}\),

zgodnie z definicją \(\displaystyle{ \log_ab=c\iff a^c=b}\) dla \(\displaystyle{ a=2x, b=4x-1, c=2}\).

JK

[verges]

Naprawdę uważasz, że liczby większe od \(\displaystyle{ \frac14}\) należą do zbioru \(\displaystyle{ \left( - \infty ; \frac{1}{4} \right)}\) ? Np. \(\displaystyle{ 1}\) tam należy?

No tak, pomyliłem znak.

Źle, zupełnie. Dziedzina to \(\displaystyle{ \left( \frac14,\frac12\right)\cup\left( \frac12,+\infty\right)}\).

Nie do końca rozumiem skąd to \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\).

[Jan Kraszewski]

Źle, zupełnie. Dziedzina to \(\displaystyle{ \left( \frac14,\frac12\right)\cup\left( \frac12,+\infty\right)}\).

Nie do końca rozumiem skąd to \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)

Stąd:

Poza tym, tak jak napisałem, to za mało. Brakuje założeń dotyczących podstawy logarytmu, czyli \(\displaystyle{ 2x>0}\) i \(\displaystyle{ \red 2x\ne 1}\).

JK

[verges]

Dobra wiem już co i jak dzięki wielkie za pomoc i wytłumaczenie.
Wynik wyszedł 1

[Jan Kraszewski]

Wynik wyszedł 1

No i źle... Pokaż rachunki.

JK

[verges]

Wynik wyszedł 1

No i źle... Pokaż rachunki.

JK

\(\displaystyle{ (2x) ^{2} = 4x-1 \\
4x ^{2} -4x+1=0 \\ \Delta:16-16=0 \\ x _{0}= \frac{4}{8}= \frac{1}{2}}\)

już wiem co zrobiłem źle zapomniałem mianownik pomnożyć we wzorze na x.