Granica funkcji dwóch zmiennych

[Androo]

\(\displaystyle{ \lim_{\bigl(x,y\bigl)\to\bigl( \pi ,0\bigl)} \frac{ \sin^2(x)}{y^2}}\)


Czy przekształcenie tego i skorzystanie z własności


\(\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{sinx}{x} =1}\)

to uzyskam

\(\displaystyle{ \lim_{\bigl(x,y\bigl)\to\bigl( \pi ,0\bigl)} \frac{ x*\sin(x)*x*\sin(x)}{y^2*x*x} = \frac{x^2}{y^2} \rightarrow \ \infty}\)

Czy to ma sens czy kicha?

[szw1710]

Widzisz, że licznik i mianownik dążą do zera zupełnie niezależnie. Stąd widać, że nie ma tu żadnej granicy. Weź np. \(\displaystyle{ y=\sin x}\). Wtedy oczywiście, jeśli \(\displaystyle{ x\to\pi}\), to \(\displaystyle{ y\to 0.}\) Ułamek ma wtedy wartość \(\displaystyle{ 1}\). Niech teraz \(\displaystyle{ y=\sin^2 x.}\) Ze zmierzaniem sytuacja ta sama. Ale ułamek ma wartość \(\displaystyle{ \frac{1}{\sin^2 x}}\) i zmierza do \(\displaystyle{ \infty.}\)

Sformalizuj to porządnie.

[Androo]

Zgadzam się z tym co napisałeś i jest to sensowne, jednak jeśli mi z założenia granica wyszła nieskończona to czy można mówić o braku granicy czy granicy nieoznaczonej?

[szw1710]

To co robisz w Twoim poście, jest zupełną bzdurą. Wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{x^2}{y^2}}\) też nie ma granicy. Ja wiem, że to co mówię, brzmi sensownie, bo napisałem to poprawnie. Tak więc, np. używając definicji granicy wg Heinego, sformalizuj moje rozumowanie.

[Androo]

\(\displaystyle{ \bigl(X _{n}, Y_{n} \bigl)=\bigl(n, sin\bigl(n)\bigl)}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to\\pi} \sin(n) =0}\)

itd


\(\displaystyle{ \bigl(X _{n}, Y_{n} \bigl)=\bigl(n, sin^2\bigl(n)\bigl)}\)

itd


Rozumiem że o to chodzi?

[Janusz Tracz]

\(\displaystyle{ \bigl(X _{n}, Y_{n} \bigl)=\bigl(n, sin\bigl(n)\bigl)}\)

Nie. Ciągi \(\displaystyle{ X_n}\) oraz \(\displaystyle{ Y_n}\) muszą być dobrane tak by dążyły do \(\displaystyle{ \left( \pi ,0\right)}\) gdy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\). Może to być na przykład \(\displaystyle{ X_n= \pi}\) albo \(\displaystyle{ X_n= \pi + \frac{1}{n}}\) a na przykład \(\displaystyle{ Y_n= \frac{1}{n}}\).

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \pi} \sin(n) =0}\)

Nie. \(\displaystyle{ n\in\NN}\) bo to jest ciąg więc napis \(\displaystyle{ n \rightarrow \pi}\) nie ma sensu.

[Euler41]

Ja nic nie zrozumiałem, podejrzewam, że nie.

Ja proponuję tak:
\(\displaystyle{ \left( \pi, \frac{1}{n}\right)}\)

wtedy:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{\sin^2(\pi)}{ \frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to \infty } sin^2(\pi) n^2 = 0}\)

\(\displaystyle{ \left( \pi, \frac{\sin(\pi)}{n} \right)}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{\sin^2(\pi)}{ \frac{\sin^2(\pi)}{n^2} } = \infty}\)

Nieprzyjemne ciągi nawymyślałem, może ktoś wpadnie na lepsze.

[Janusz Tracz]

Euler41 pierwsza propozycja jest ok, też ją proponowałem. Natomiast druga propozycja jest niepoprawna ponieważ \(\displaystyle{ Y_n= \frac{\sin \pi }{n}=0}\) a tak nie może być jako że przez \(\displaystyle{ Y_n}\) dzielimy więc jedynie można bobierać takie \(\displaystyle{ Y_N}\) by \(\displaystyle{ Y_n \rightarrow 0}\) i \(\displaystyle{ (\forall n\in\NN)Y_n \neq 0}\)

[Euler41]

To nawet nie wiedziałem, dziękuję.

[a4karo]

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \pi} \sin(n)=0}\)

Nie. \(\displaystyle{ n\in\NN}\) bo to jest ciąg więc napis \(\displaystyle{ n \rightarrow \pi}\) nie ma sensu.

Oczywiście,że ten zapis ma sens.

To, że ZWYKLE używa się litery \(\displaystyle{ n}\) do oznaczania liczny naturalnej nie znaczy, że nie może ona oznaczać czegoś innego. Tutaj właśnie tak jest.

[Janusz Tracz]

Tak myślałem że o tym powiesz... Skoro zwykle \(\displaystyle{ n\in\NN}\) a ewidentnie jest mowa o ciągu więc istotnie \(\displaystyle{ n\in\NN}\). To nie uważasz że mieszasz tylko w głowie pytającego tym enigmatycznym postem?

[a4karo]

Wiesz, jeden zauważy \(\displaystyle{ n}\), a drugi zauważy \(\displaystyle{ n\to\pi}\).