Homeomorfizm - kula jednostkowa i trójkąt
-
- Użytkownik
- Posty: 153
- Rejestracja: 30 cze 2013, o 18:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 54 razy
- Pomógł: 1 raz
Homeomorfizm - kula jednostkowa i trójkąt
Jak wykazać, że istnieje homeomorfizm przekształcający dowolny trójkąt na kulę jednostkową?
-
- Użytkownik
- Posty: 5974
- Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 1251 razy
Re: Homeomorfizm - kula jednostkowa i trójkąt
Skonstruuj go - bez straty ogólności niech punkt \(\displaystyle{ 0}\) leży we wnętrzu trójkąta. Wypuszczamy półprostą z \(\displaystyle{ 0}\) w dowolnym kierunku. Na tej półprostej rozciągamy fragment trójkąta w taki sposób, aby pokrył się z fragmentem kuli na tej półprostej.
Opis jest dość prosty, ale wzór będzie dość skomplikowany. Niech \(\displaystyle{ r}\) oznacza punkt przecięcia brzegu trójkąta z ustaloną półprostą. Wtedy ten punkt musi przejść na punkt o normie \(\displaystyle{ 1}\), tj.
\(\displaystyle{ r \mapsto \frac{r}{\|r\|}}\)
i w takim samym stosunku należy przekształcić pozostałe punkty, tj. dla punktu \(\displaystyle{ x}\) na trójkącie przerzucamy
\(\displaystyle{ x \mapsto \frac{x}{\|r\|}.}\)
Odwzorowanie oczywiście jest bijekcją na każdej półprostej, więc z rozłączności półprostych, jest bijekcją z trójkąta na kulę. Trzeba się chwilę pochylić nad ciągłością -- oczywiście jest ona zachowana na każdej półprostej, trzeba jedynie zbadać co się dzieje, na bliskich półprostych.
-- 25 maja 2018, o 09:54 --
Można pokusić się o dowód czegoś więcej. Dowolny wypukły, zwarty podzbiór o niepustym wnętrzu w \(\displaystyle{ \RR^n}\) jest homeomorficzny z kulą jednostkową -- dowód w gruncie rzeczy jest taki sam, jak dla trójkąta
Opis jest dość prosty, ale wzór będzie dość skomplikowany. Niech \(\displaystyle{ r}\) oznacza punkt przecięcia brzegu trójkąta z ustaloną półprostą. Wtedy ten punkt musi przejść na punkt o normie \(\displaystyle{ 1}\), tj.
\(\displaystyle{ r \mapsto \frac{r}{\|r\|}}\)
i w takim samym stosunku należy przekształcić pozostałe punkty, tj. dla punktu \(\displaystyle{ x}\) na trójkącie przerzucamy
\(\displaystyle{ x \mapsto \frac{x}{\|r\|}.}\)
Odwzorowanie oczywiście jest bijekcją na każdej półprostej, więc z rozłączności półprostych, jest bijekcją z trójkąta na kulę. Trzeba się chwilę pochylić nad ciągłością -- oczywiście jest ona zachowana na każdej półprostej, trzeba jedynie zbadać co się dzieje, na bliskich półprostych.
-- 25 maja 2018, o 09:54 --
Można pokusić się o dowód czegoś więcej. Dowolny wypukły, zwarty podzbiór o niepustym wnętrzu w \(\displaystyle{ \RR^n}\) jest homeomorficzny z kulą jednostkową -- dowód w gruncie rzeczy jest taki sam, jak dla trójkąta
-
- Użytkownik
- Posty: 5974
- Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 1251 razy
Re: Homeomorfizm - kula jednostkowa i trójkąt
Rozumiałem, że autor miał na myśli kulę jednostkową w \(\displaystyle{ \RR^2}\).a4karo pisze:Kula jest trójwymiarowa a trójkąt płaski. Ciężko będzie
-
- Użytkownik
- Posty: 22173
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Re: Homeomorfizm - kula jednostkowa i trójkąt
Ja bym wolał pomyśleć że trójkąt jest czworościanembartek118 pisze:Rozumiałem, że autor miał na myśli kulę jednostkową w \(\displaystyle{ \RR^2}\).a4karo pisze:Kula jest trójwymiarowa a trójkąt płaski. Ciężko będzie