Współczynniki dwumianowe

[Martino19]

Mam problem z zadaniem:
Ile jest rozmieszczeń uporządkowanych k różnych elementów w n różnych pudełkach(pudełko może być puste, kolejność elementów w pudełku ma znaczenia)?

[tomwanderer]

kolejność elementów w pudełku ma znaczenia

To ma czy nie ma?

Jeżeli nie ma, to wystarczy dla każdego elementu wybrać pudełko.

Podpowiedź:

Ukryta treść:    

Dla każdego elementu można to zrobić na \(\displaystyle{ n}\) sposobów.

Odpowiedź:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ n^k}\)

Jeżeli kolejność w pudełku ma znaczenie, to procedurę rozdzielamy na dwa etapy:
1. Rozdzielamy elementy do pudełek tak jakby te elementy były nierozróżnialne,
2. Zmieniamy kolejność elementów w dowolny sposób, co "wyprodukuje" nam nowe rozmieszczenie.

Podpowiedź:

Ukryta treść:    

Rozdzielenie nierozróżnialnych elementów do rozróżnialnych pudełek można reprezentować poprzez następujące ciągi:
\(\displaystyle{ **|*||*|}\)
Powyższy ciąg oznacza umieszczenie dwóch elementów w pudełku nr 1, jednego elementu w pudełku nr 2, 0 elementów w pudełku nr 3, jednego elementu w pudełku nr 4 oraz 0 elementów w pudełku nr 5. Zatem rozmieszczenie nierozróżnialnych elementów do rozróżnialnych pudełek sprowadza się do wyboru miejsc dla odpowiedniej liczby "kresek" spośród odpowiedniej liczby wszystkich dostępnych miejsc.

Odpowiedź:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ {k+n-1 \choose n-1}\cdot k!}\)

[Martino19]

"Jeżeli kolejność w pudełku ma znaczenie, to procedurę rozdzielamy na dwa etapy:
1. Rozdzielamy elementy do pudełek tak jakby te elementy były nierozróżnialne".
Czyli możemy to traktować jako równanie:
\(\displaystyle{ x _{0}+x _{1} +...x _{n-1} =k,}\) gdzie\(\displaystyle{ x _{0} ,...,x _{n-1}}\) traktujemy jako ilość elementów w pudełku ?
Więc możliwości rozwiązań równania jest:
\(\displaystyle{ {k+n-1 \choose n-1}}\)

[tomwanderer]

Czyli możemy to traktować jako równanie:
\(\displaystyle{ x _{0}+x _{1} +...x _{n-1} =k,}\) gdzie\(\displaystyle{ x _{0} ,...,x _{n-1}}\) traktujemy jako ilość elementów w pudełku ?
Więc możliwości rozwiązań równania jest:
\(\displaystyle{ {k+n-1 \choose n-1}}\)

Zgadza się.