równanie liniowe I rzędu

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
krotka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 136
Rejestracja: 17 paź 2010, o 12:38
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: pl
Podziękował: 12 razy

równanie liniowe I rzędu

Post autor: krotka » 21 maja 2018, o 09:46

Witam,
Zamieszczam fragment notatek z którymi mam problem:
Najpierw pojawia się wprowadzenie:
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}+p\left( x\right) y=r\left( x\right)}\)
Czynnik całkujący \(\displaystyle{ G\left( x\right)=e^{ \int p\left( x\right) dx }}\)

po czym pojawia się przykład:

\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}+3y=e^{-3x}}\)

\(\displaystyle{ G\left( x\right)=e^{ \int 3 dx}=e^{3x}}\)

\(\displaystyle{ e^{3x} \cdot \frac{dy}{dx} + 3 \cdot e^{3x} \cdot y=e^{-3x} \cdot e^{3x}}\)

W powyższej linijce lewa strona została oznaczona jako:

G y` G` y

po czym pojawia się zapis:

\(\displaystyle{ \frac{d}{dx}\left( e^{3x} \cdot y\right)=e^{-3x+3x}}\)

\(\displaystyle{ \int \frac{d}{dx}\left( e^{3x \cdot y\right)dx=\int 1 dx}\)
\(\displaystyle{ e^{3x \cdot y}=x+C}\)
no i wyznaczony \(\displaystyle{ y}\).

Rozumiem że wyjściowe równanie zostało pomnożone stronami przez \(\displaystyle{ e^{3x}}\) ale schody pojawiają się w następnej linijce (gdy pojawia się oznaczenie z G, G, y, y`). Skąd bierze się ta lewa strona?
Ostatnio zmieniony 21 maja 2018, o 09:55 przez krotka, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7177
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 205 razy
Pomógł: 2854 razy

Re: równanie liniowe I rzędu

Post autor: kerajs » 21 maja 2018, o 09:50

Tu, przez pomnożenie przez czynnik całkujący, lewą stronę doprowadzasz do pochodnej iloczynu:
\(\displaystyle{ (g(x) \cdot y)'_x=g'(x)y+g(x)y'_x}\)

Równanie liniowe można także rozwiązywać przez uzmiennianie stałej.

krotka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 136
Rejestracja: 17 paź 2010, o 12:38
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: pl
Podziękował: 12 razy

Re: równanie liniowe I rzędu

Post autor: krotka » 21 maja 2018, o 10:08

jaaaaaaaaaaaaa.....czyli w oznaczeniu zabrakło mi "\(\displaystyle{ +}\)" żeby było wszystko jasne
Dziękuję
Jeszcze tylko jedno pytanie:
Co oznacza
\(\displaystyle{ \frac{d}{dx}}\)
czy to onacza po protu:
\(\displaystyle{ f'(x)}\)?

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7177
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 205 razy
Pomógł: 2854 razy

Re: równanie liniowe I rzędu

Post autor: kerajs » 22 maja 2018, o 20:06

\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}= \frac{d}{dx}(y)= \frac{d}{dx}y= \frac{ \partial y}{ \partial x}=y'(x)=y'_x =\dot{y}(x)}\)
Pierwsze cztery to pochodna w notacji Leibniza, kolejne w notacji Lagrange'a, ostatnia wg Newtona.
Oczywiście za y oraz x możesz wstawić inne literki (oprócz litery d w trzech pierwszych formach), lub całe wyrażenia (zamiast y).

ODPOWIEDZ