Obliczenie laplasjanu

[gfs9440]

Witam, mam do rozwiązania zadanie,

Niech \(\displaystyle{ g:\RR^n \rightarrow \RR^n}\) jest klasy \(\displaystyle{ C^2}\).

\(\displaystyle{ f(x)= \int_{B(x,1)}^{} g(y)\exp(-|x-y|^2)dy.}\)

Obliczyć laplasjan funkcji \(\displaystyle{ f}\). Czy ktoś ma jakiś pomysł? Jakąś podpowiedź?

[Elvis]

Nie jest to konieczne, ale można podstawić \(\displaystyle{ y = x+z}\), żeby pozbyć się zależności od \(\displaystyle{ x}\) w obszarze całkowania. Potem wystarczy przejść z różniczkowaniem pod całkę.

[gfs9440]

Nie bardzo rozumiem, przecież jak wstawimy pod \(\displaystyle{ g(y)= g(x+z)}\) to się nie pozbędziemy \(\displaystyle{ x}\).

[Elvis]

Owszem, pozbędziemy się \(\displaystyle{ x}\) z obszaru całkowania, bo przy tym podstawieniu \(\displaystyle{ z}\) jest brane wyłącznie z ustalonej kuli \(\displaystyle{ B(0,1)}\).