Skonstruuj rozwiązanie metodą rozdzielania zmiennych

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Awatar użytkownika
Leoneq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 27 mar 2017, o 17:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 7 razy

Skonstruuj rozwiązanie metodą rozdzielania zmiennych

Post autor: Leoneq » 19 maja 2018, o 15:40

Mam takie zadanie:
Skonstruuj rozwiązanie metodą rozdzielania zmiennych następującego zagadnienia:
\(\displaystyle{ u _{t} = u_{y}, u(0,y) = e ^{y} + e^{-2y}}\)

No to szukam rozwiązania postaci:
\(\displaystyle{ u(t,y) = T(t) \cdot Y(y)}\)

Podstawiając do równania początkowego dostaję:
\(\displaystyle{ T'(t) \cdot Y(y) = T(t) \cdot Y'(y)}\)

No i mam że:
\(\displaystyle{ \frac{T'(t)}{T(t)} = \frac{Y'(y)}{Y(y)}}\)

Więc to musi być równe jakiejś stałej \(\displaystyle{ - \lambda}\) i otrzymuję równania:
\(\displaystyle{ Y'(y) + \lambda Y(y) = 0, T'(t) + \lambda T(t)=0}\)

Więc jak sobie oba rozwiąże to wychodzi:
\(\displaystyle{ T(t) = c_{1} \cdot e^{- \lambda t}, Y(y) = c_{2} \cdot e^{- \lambda y}}\)

I w tym momencie nie wiem co zrobić, proszę o pomoc.

bartek118
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5971
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Re: Skonstruuj rozwiązanie metodą rozdzielania zmiennych

Post autor: bartek118 » 19 maja 2018, o 17:35

No to masz \(\displaystyle{ u(t,y) = T(t) Y(y)}\). Podstaw to pod równanie i warunek początkowy, aby wyznaczyć stałe/zależności między nimi.

Awatar użytkownika
Leoneq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 27 mar 2017, o 17:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 7 razy

Re: Skonstruuj rozwiązanie metodą rozdzielania zmiennych

Post autor: Leoneq » 19 maja 2018, o 18:14

No to wychodzi:
\(\displaystyle{ u(0,y) = e^{y} - e^{2y} = c_{1} c_{2} \cdot e^{- \lambda y}}\)

i po przekształceniach:
\(\displaystyle{ y(0) = ln(1 - c_{1} c_{2} e^{- \lambda })}\)

I dalej nadal nie wiem

bartek118
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5971
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Re: Skonstruuj rozwiązanie metodą rozdzielania zmiennych

Post autor: bartek118 » 19 maja 2018, o 19:02

Jakie \(\displaystyle{ y(0)}\)? Czy tutaj \(\displaystyle{ y=y(t)}\) jest funkcją??

Awatar użytkownika
Leoneq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 27 mar 2017, o 17:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 7 razy

Skonstruuj rozwiązanie metodą rozdzielania zmiennych

Post autor: Leoneq » 19 maja 2018, o 19:07

Jest to równanie różniczkowe cząstkowe więc wydaje mi się, że tak.

bartek118
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5971
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Skonstruuj rozwiązanie metodą rozdzielania zmiennych

Post autor: bartek118 » 19 maja 2018, o 19:24

Leoneq pisze:Jest to równanie różniczkowe cząstkowe więc wydaje mi się, że tak.
Jeżeli jest to równanie cząstkowe, to źle Ci się wydaje. \(\displaystyle{ y}\) to po prostu zmienna, a szukasz funkcji \(\displaystyle{ u=u(t,y)}\).-- 19 maja 2018, o 19:30 --Zauważ, że równanie
\(\displaystyle{ u_t = u_y}\)
ma następującą własność: jeśli \(\displaystyle{ u_1}\) i \(\displaystyle{ u_2}\) są rozwiązaniami, to suma \(\displaystyle{ u_1+u_2}\) również.

Zatem, dla każdej \(\displaystyle{ \lambda \in \RR}\) znalazłeś rozwiązanie postaci \(\displaystyle{ u(t,y) = C e^{-\lambda y - \lambda t}}\). Zatem, patrząc na warunek początkowy, sugeruje to, aby poszukiwać równań w postaci sumy
\(\displaystyle{ u(t,y) = C_1 e^{-\lambda_1 y - \lambda_1 t} + C_2 e^{-\lambda_2 y - \lambda_2 t}}\)
Podstawiając to do warunku początkowego
\(\displaystyle{ e^y +e^{-2y} = u(0,y) = C_1 e^{-\lambda_1 y} + C_2 e^{-\lambda_2 y}}\)
stąd \(\displaystyle{ C_1 = 1}\), \(\displaystyle{ C_2 = 1}\), \(\displaystyle{ \lambda_1 = -1}\) i \(\displaystyle{ \lambda_2 = 2}\). Dostajemy zatem rozwiązanie
\(\displaystyle{ u(t,y) = e^{y + t} + e^{-2 y - 2 t}.}\)
Łatwo sprawdzić, że istotnie ta funkcja spełnia równanie.

ODPOWIEDZ