Wykazać, że przestrzeń metryczna i ośrodkowa spełnia II aksjomat przeliczalności.
Dowód:
Jeżeli przestrzeń metryczna \(\displaystyle{ (X,d)}\) jest ośrodkowa z przeliczalnym zbiorem gęstym \(\displaystyle{ \left\{ p_{n} | n \in N\right\}}\), to rodzina:
\(\displaystyle{ B=\left\{ K(p_{n}, q), n \in N, q \in Q\right\}}\)
jest przeliczalną bazą topologii \(\displaystyle{ \tau_{d}}\).
To że \(\displaystyle{ B}\) jest przeliczalna jest oczywiste, problem mam z tym, żeby udowodnić, że to baza. Tzn fakt że należy do topologii jest oczywisty bo to suma zbiorów otwartych, ale nie wiem, jak formalnie wykazać że każdy zbiór da się z tych kul wysumować...
Będę wdzięczna za każdą pomoc i wskazówkę
II aksjomat przeliczalności w przestrzeni metrycznej.
-
- Użytkownik
- Posty: 207
- Rejestracja: 23 paź 2015, o 12:31
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Mielec
- Podziękował: 14 razy
- Spektralny
- Użytkownik
- Posty: 3976
- Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 929 razy
Re: II aksjomat przeliczalności w przestrzeni metrycznej.
Wystarczy sprawdzić, że jeżeli \(\displaystyle{ B(x, r)}\) jest pewną kulą otwartą w \(\displaystyle{ X}\), to \(\displaystyle{ xin B(p_n, q)subset B(x,r)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ n}\) oraz liczby wymiernej \(\displaystyle{ q}\).
Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie tak dobrane by \(\displaystyle{ d(x,p_n) < q}\), gdzie \(\displaystyle{ q}\) jest liczbą wymierną z przedziału \(\displaystyle{ (0, r/2)}\). Jeżeli \(\displaystyle{ yin B(p_n, q)}\), tzn. \(\displaystyle{ d(p_n,y) <q}\), to mamy też
Zobacz też: 340685.htm
Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie tak dobrane by \(\displaystyle{ d(x,p_n) < q}\), gdzie \(\displaystyle{ q}\) jest liczbą wymierną z przedziału \(\displaystyle{ (0, r/2)}\). Jeżeli \(\displaystyle{ yin B(p_n, q)}\), tzn. \(\displaystyle{ d(p_n,y) <q}\), to mamy też
- \(\displaystyle{ d(x,y)leqslant d(x,p_n) + d(p_n, y) < q + q < r/2 + r/2 = r,}\)
Zobacz też: 340685.htm
-
- Użytkownik
- Posty: 207
- Rejestracja: 23 paź 2015, o 12:31
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Mielec
- Podziękował: 14 razy