Obliczyć pochodne na podst. szeregów MacLaurina

[gubermaniak]

Polecenie tak jak w temacie
\(\displaystyle{ f^{(50)} (0), f(x)=x ^{2} \cos (x)}\)
Więc rozwinięcie
\(\displaystyle{ \cos (x) = \sum_{}^{} \frac{(-1) ^{n} }{(2n!} x ^{2n}}\)
teraz mnożę:
\(\displaystyle{ x ^{2} \sum_{}^{} [...]= \sum_{}^{} \frac{(-1) ^{n} }{(2n!} x ^{2n+2}}\)
teraz szukam pięćdziesiątego wyrazu
\(\displaystyle{ 2n+2=50 \rightarrow n=24}\)
podstawiam
\(\displaystyle{ x=0, n=24}\)
wychodzi
\(\displaystyle{ \frac{1}{48!}}\)
Czy to jest dobrze?

[Emce1]

nie, kolejne potęgowania zmienią wartość tego współczynnika.

Ponieważ liczysz pochodną szeregu w zerze, słusznie zatem chcesz policzyć tylko \(\displaystyle{ n}\)-ty wyraz rozwinięcia ( w Twoim przypadku 50), bo wcześniejsze się wyzerują przy różniczkowaniu, a następne po podstawieniu zera. Ale wartość pochodnej 50 rzędu to nie jest poprostu liczba stojąca przy \(\displaystyle{ x^{50}}\), bo różniczkowanie \(\displaystyle{ k}\)-krotne różniczkowanie takiego jednomianu da ci \(\displaystyle{ 50 \cdot 49 \cdot 48 ... \cdot (50 - k + 1)x^{50-k}}\)

[gubermaniak]

Więc jak powinno wyglądać rozwiązanie?

[Dasio11]

Szereg MacLaurina funkcji \(\displaystyle{ f}\) to

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} \cdot x^n,}\)

co daje

\(\displaystyle{ \frac{f^{(50)}(0)}{50!} = \frac{1}{48!}}\)

czyli \(\displaystyle{ f^{(50)}(0) = 50 \cdot 49.}\)