Podgrupa przedział

[mol_ksiazkowy]

Czy w grupie \(\displaystyle{ G=(-1,1)}\) z działaniem \(\displaystyle{ x \diamond y = \frac{x+y}{1+xy}}\) istnieje podgrupa właściwa, która jest przedziałem ?

[Spektralny]

Załóżmy, że taka podgrupa istnieje. Wówczas jej domknięcie też jest (właściwą) podgrupą bo działanie \(\displaystyle{ *}\) jest ciągłe, tzn. \(\displaystyle{ G}\) jest

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Grupa_topologiczna

. Jednak przedział (jednostronnie) domknięty nie może być grupą topologiczną (z żadnym działaniem) bo nie jest

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Przestrze%C5%84_jednorodna

(końców przedziału nie da się przenieść do wnętrza przez żaden autohomeomorfizm).

[arek1357]

Mi się widzi, że każda nietrywialna podgrupa powinna być zbiorem gęstym i przeliczalnym w tym przedziale. Choć z tą przeliczalnością byłbym ostrożny.

[a4karo]

Funkcja \(\displaystyle{ \tanh}\) jest izomorfizmem liczb rzeczywistych z dodawaniem z grupą w zadaniu. Trza wynika z faktu, że każda podgrupa (nieustanna) liczb rzeczywistych jest nieograniczona.-- 14 maja 2018, o 09:41 --

Mi się widzi, że każda nietrywialna podgrupa powinna być zbiorem gęstym i przeliczalnym w tym przedziale. Choć z tą przeliczalnością byłbym ostrożny.

I słusznie. Nieprzeliczalny podzbior bazy Hamela wygeneruje nieprzeliczalną podgrupe

[arek1357]

Jeszcze dodam, że orbitą każdego np\(\displaystyle{ a >0}\) w działaniu grupy na zbiorze \(\displaystyle{ (0;1)}\)

są liczby:

\(\displaystyle{ a, a_{1}, a_{2},... \rightarrow 1}\)

Podobnie jest z \(\displaystyle{ a<0}\) tyle, że do \(\displaystyle{ -1}\)

Co już z tego wynika, że podgrupą nie może być jakiś przedział.

Może sprawę rozwinę i zapodam problem czy da się jakoś sensownie określić działanie grupowe na zbiorze:

\(\displaystyle{ <-1;1>}\)

Jeżeli by było to na pewno topologia w której działanie grupowe i branie elementu odwrotnego byłoby ciągłe, nie byłaby tożsama z topologią naturalną indukowaną z \(\displaystyle{ R}\) .

[Spektralny]

Jeżeli nie dbasz o topologię weź dowolną bijekcję na grupę \(\displaystyle{ \mathbb R}\) i przenieś strukturę.

[arek1357]

No tak ale jakbym chciał pozostać w topologii naturalnej...

[Spektralny]

No tak ale jakbym chciał pozostać w topologii naturalnej...

W naturalnej topologii się nie da bo to nie jest przestrzeń jednorodna; patrz mój pierwszy post.

[arek1357]

No fakt ...